单位向量的定义和举例说明
单位向量是指长度为 1 的向量。在数学中，单位向量通常用于表示方向，因为它只有方向信息，而没有大小信息。
单位向量的定义：
一个向量
v
\mathbf{v}
v 被称为单位向量，如果它的**模（长度）**等于 1，即：
∥
v
∥
=
1
\|\mathbf{v}\| = 1
∥v∥=1
其中
∥
v
∥
\|\mathbf{v}\|
∥v∥ 表示向量的欧几里得长度，定义为：
∥
v
∥
=
v
1
2
+
v
2
2
+
⋯
+
v
n
2
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2}
∥v∥=v12+v22+⋯+vn2
对于一个向量
v
\mathbf{v}
v 来说，如果它不是单位向量，则可以通过将它除以它的模来将其标准化为单位向量：
v
^
=
v
∥
v
∥
\hat{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}
v^=∥v∥v
其中， v ^ \hat{\mathbf{v}} v^ 是向量 v \mathbf{v} v 的单位向量。
举例说明：
1. 二维空间的单位向量：
在二维空间（平面）中，一个常见的单位向量是：
v
=
[
1
0
]
\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}
v=[10]
- 这个向量在
x
x
x 轴上，并且它的长度为 1：
∥ v ∥ = 1 2 + 0 2 = 1 \|\mathbf{v}\| = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1 ∥v∥=12+02=1
另一个二维单位向量例子：
v
=
[
1
2
1
2
]
\mathbf{v} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}
v=[2121]
- 这个向量与
x
x
x 轴正方向形成 45 度角，它的长度为：
∥ v ∥ = ( 1 2 ) 2 + ( 1 2 ) 2 = 1 2 + 1 2 = 1 = 1 \|\mathbf{v}\| = \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1 ∥v∥=(21)2+(21)2=21+21=1=1
2. 三维空间的单位向量：
在三维空间中，一个常见的单位向量是：
v
=
[
0
0
1
]
\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}
v=
001
- 这个向量在
z
z
z 轴方向，并且它的长度为 1：
∥ v ∥ = 0 2 + 0 2 + 1 2 = 1 \|\mathbf{v}\| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1 ∥v∥=02+02+12=1
另一个三维单位向量例子：
v
=
[
1
2
1
2
2
2
]
\mathbf{v} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}
v=
212122
这个向量的长度为：
∥
v
∥
=
(
1
2
)
2
+
(
1
2
)
2
+
(
2
2
)
2
=
1
4
+
1
4
+
2
4
=
1
=
1
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2}{4}} = \sqrt{1} = 1
∥v∥=(21)2+(21)2+(22)2=41+41+42=1=1
3. 任意向量标准化为单位向量：
假设有一个二维向量：
v
=
[
3
4
]
\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}
v=[34]
这个向量的长度为：
∥
v
∥
=
3
2
+
4
2
=
9
+
16
=
25
=
5
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
∥v∥=32+42=9+16=25=5
我们可以将它标准化为单位向量
v
^
\hat{\mathbf{v}}
v^：
v
^
=
1
5
[
3
4
]
=
[
3
5
4
5
]
\hat{\mathbf{v}} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \end{bmatrix}
v^=51[34]=[5354]
验证其长度：
∥
v
^
∥
=
(
3
5
)
2
+
(
4
5
)
2
=
9
25
+
16
25
=
25
25
=
1
\|\hat{\mathbf{v}}\| = \sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{25}{25}} = 1
∥v^∥=(53)2+(54)2=259+2516=2525=1
所以，单位向量 v ^ = [ 3 5 4 5 ] \hat{\mathbf{v}} = \begin{bmatrix} \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \end{bmatrix} v^=[5354] 确实是长度为 1 的向量。
总结：
- 单位向量是长度为 1 的向量，通常用于表示方向。
- 任何非零向量都可以通过将其除以自身的长度来标准化为单位向量。
- 在几何和物理学中，单位向量常用于表示物体的方向，而忽略其大小。