信息安全数学基础（21）高次同余式的解数及解法
前言
信息安全数学基础中的高次同余式是数学和密码学领域中的一个重要概念，其解数及解法对于理解密码算法的安全性具有重要意义。
一、高次同余式的定义
设m是一个正整数，f(x)是一个多项式，形式为f(x)=anxn+⋯+a1x+a0，其中ai（i=0,1,…,n）是整数。则f(x)≡0(modm)被称为模m的高次同余式。如果整数x=a使得该同余式成立，即f(a)≡0(modm)，则a被称为该同余式的一个解。
二、高次同余式的解数
高次同余式的解数取决于多项式的次数、模数m的因子分解以及多项式与模数的互质关系等因素。一般来说，高次同余式的解数可能多于一个，也可能没有解。
定理1（解数等价性）
若m=m1m2⋯mk，且(mi,mj)=1（i=j），则同余式f(x)≡0(modm)与同余式组begincasesf(x)≡0(modm1)f(x)≡0(modm2)vdotsf(x)≡0(modmk)endcases等价。若f(x)≡0(modmi)的解数是Ti（i=1,2,…,k），则f(x)≡0(modm)的解数是T1T2⋯Tk。
这个定理表明，我们可以通过求解一系列模较小数的同余式来间接求解模较大数的同余式，从而简化问题。
三、高次同余式的解法
1. 分解模数
首先，将模数m分解为若干个互质的因子m1,m2,…,mk的乘积。
2. 分别求解
对于每个因子mi，求解同余式f(x)≡0(modmi)。这一步通常比直接求解原同余式要简单得多。
3. 应用中国剩余定理
利用中国剩余定理，将各个同余式的解组合起来，得到原同余式的解。具体地，设xi是f(x)≡0(modmi)的一个解，Mi=mim，Mi′是Mi模mi的逆元（即满足MiMi′≡1(modmi)的整数）。则原同余式的一个解为
x≡i=1∑kMi′Mixi(modm)
通过遍历所有可能的xi组合，可以得到原同余式的所有解。
四、示例
考虑同余式f(x)≡x4+2x3+8x+9(mod35)。首先，将35分解为5和7的乘积。然后分别求解f(x)≡0(mod5)和f(x)≡0(mod7)。对于前者，解得x≡1,4(mod5)；对于后者，解得x≡3,5,6(mod7)。最后，应用中国剩余定理，得到原同余式的6个解：x≡31,26,6,24,19,34(mod35)。
五、总结
高次同余式的解数及解法是信息安全数学基础中的重要内容。通过分解模数、分别求解和应用中国剩余定理等步骤，我们可以有效地求解高次同余式。这些方法和技巧对于理解密码算法的安全性、设计安全的密码系统具有重要意义。
结语
莫道桑榆晚
为霞尚满天
！！！
