当前位置：首页 > article >正文

【数学分析笔记】第4章第2节导数的意义和性质（1）

article 2024/10/1 23:23:42

4. 微分

4.2 导数的意义与性质

4.2.1 导数在物理中的背景

物体在OS方向上运动，位移函数为 $s = s (t)$ ，求时刻 $t$ 的瞬时速度，找一个区间 $[t,t+\bigtriangleup t]$ ，从时刻 $t$ 变到时刻 $t+\bigtriangleup t$ ，则 $\bigtriangleup s=s(t+\bigtriangleup t)-s(t)$ ， $\frac{\bigtriangleup s}{\bigtriangleup t}$ 是这段时间的平均速度，而这段时间的瞬时速度为 $v(t)=\lim\limits_{\bigtriangleup t\to 0}\frac{\bigtriangleup s}{\bigtriangleup t}=\lim\limits_{\bigtriangleup t\to 0}\frac{s(t+\bigtriangleup t)-s(t)}{\bigtriangleup t}=s'(t)$

再看一个例子，设 $p (t)$ 表示某地区在 $t$ 时刻的人口数，要算某一时段的人口增长率，在 $[t,t+\bigtriangleup t]$ 这段时间， $\bigtriangleup p=p(t+\bigtriangleup t)-p(t)$ ，则 $\frac{\bigtriangleup p}{\bigtriangleup t}$ 是这段时间人口平均增长率，人口在该时刻 $t$ 的增长率为 $\lim\limits_{\bigtriangleup t\to 0}\frac{\bigtriangleup p}{\bigtriangleup t}=\lim\limits_{\bigtriangleup t\to 0}\frac{p(t+\bigtriangleup t)-p(t)}{\bigtriangleup t}=p'(t)$

4.2.2 导数的几何意义

画一条曲线，求曲线上一点的切线的斜率

切线看成是割线的极限位置

让 $\bigtriangleup x\to 0$ ，则割线的斜率为 $\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}$ ，记切线斜率为 $k$ ，记函数为 $y = f (x)$ ，切线斜率为 $k=\lim\limits_{\bigtriangleup x\to 0}\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}=\lim\limits_{\bigtriangleup x\to 0}\frac{f(x+\bigtriangleup x)-f(x)}{\bigtriangleup x}=f'(x)$
过 $x_{0},f(x_{0}))$ 的切线： $y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$ ，法线方程为 $y-f(x_0)=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0),f'(x_0)\ne 0$

【例4.2.1】求抛物线 $y^2=2px,p>0$ ， $x_0,y_0)$ 是抛物线上切线一点，求过 $x_0,y_0)$ 的切线方程。
【解】

$y=\sqrt{2px}$
$k=\lim\limits_{\bigtriangleup x\to 0}\frac{\sqrt{2p(x+\bigtriangleup x)}-\sqrt{2px}}{\bigtriangleup x}=\lim\limits_{\bigtriangleup x\to 0}\frac{(\sqrt{2p(x+\bigtriangleup x)}-\sqrt{2px})(\sqrt{2p(x+\bigtriangleup x)}+\sqrt{2px})}{\bigtriangleup x(\sqrt{2p(x+\bigtriangleup x)}+\sqrt{2px})}=\lim\limits_{\bigtriangleup x\to 0}\frac{2p\bigtriangleup x}{\bigtriangleup x(\sqrt{2p(x+\bigtriangleup x)}+\sqrt{2px})}=\lim\limits_{\bigtriangleup x\to 0}\frac{2p}{\sqrt{2p(x+\bigtriangleup x)}+\sqrt{2px}}=\frac{2p}{2\sqrt{2px}}=\sqrt{\frac{p}{2x}}$
切线方程为 $y-y_0=\sqrt{\frac{p}{2x_0}}(x-x_0)$
【注】由抛物线的切线方程得到抛物线的重要性质：

$\tan \theta_{1}=\frac{\sqrt{p}}{\sqrt{2 x_{0}}}=\frac{p}{y_{0}}$ ，记 $x_0,y_0)$ 与抛物线焦点 $(\frac{p}{2},0)$ 连线与 $x$ 轴的夹角为 $\theta_{2}$ ，该连线与抛物线在点 $x_0,y_0)$ 处的切线的夹角为 $\theta$ ，则有：

$\tan \theta_{2}=\frac{y_{0}}{x_{0}-\frac{p}{2}}$
于是 $\tan \theta=\tan (\theta_{2} - \theta_{1})=\frac{\tan \theta_{2}-\tan \theta_{1}}{1+\tan \theta_{2} \cdot \tan \theta_{1}}=\frac{\frac{y_{0}}{x_{0}-\frac{p}{2}}-\frac{p}{y_{0}}}{1+\frac{y_{0}}{x_{0}-\frac{p}{2}} \cdot \frac{p}{y_{0}}}=\frac{p}{y_{0}}=\tan \theta_{1}$ （ $y_{0}^{2}=2px_{0}$ 代入化简计算）
即恰好 $\theta$ 与切线与 $x$ 轴夹角 $\theta_{1}$ 相等。

【例4.2.2】 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ，求椭圆上过 $x_0,y_0)$ 点的切线。
【解】不妨设 $y_0>0$ ， $y=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$
$k=\frac{b}{a} \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{a^{2}-\left(x_{0}+\Delta x\right)^{2}}-\sqrt{a^{2}-x_{0}^{2}}}{\Delta x}=\frac{b}{a} \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{x_{0}^{2}-\left(x_{0}+\Delta x\right)^{2}}{\left(\sqrt{a^{2}-\left(x_{0}+\Delta x\right)^{2}}+\sqrt{a^{2}-x_{0}^{2}}\right) \cdot \Delta x}=\frac{b}{a} \frac{-x_{0}}{\sqrt{a^{2}-x_{0}^{2}}}$
所以切线方程为 $y-y_{0}=\frac{b}{a} \frac{-x_{0}}{\sqrt{a^{2}-x_{0}^{2}}}\left(x-x_{0}\right)=-\frac{b^2}{a^2}\cdot\frac{x_0}{\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x_{0}^{2}}}$
即 $a^2y_0y+b^2x_0x=a^2y_0^2+b^2x_0^2=a^2b^2$
即 $\frac{y_0y}{a}+\frac{x_0x}{b}=1$