数据结构：详解搜索二叉树
目录
一、搜索二叉树的概念
二、搜索二叉树的基本结构
三、搜索二叉树的插入
四、搜索二叉树的查找
五 、搜索二叉树的删除
一、搜索二叉树的概念
⼆叉搜索树⼜称⼆叉排序树，它或者是⼀棵空树，或者是具有以下性质的⼆叉树：
- 若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值都⼩于等于根结点的值
- 若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值都⼤于等于根结点的值
- 它的左右子树也分别为⼆叉搜索树
- 最优情况下，⼆叉搜索树为完全⼆叉树(或者接近完全⼆叉树)，其⾼度为：O(
)
- 最差情况下，⼆叉搜索树退化为单⽀树(或者类似单⽀)，其⾼度为：O(
)
- 综合而言⼆叉搜索树增删查改时间复杂度为：O(N)
二、搜索二叉树的基本结构
搜索二叉树的结构跟二叉树差不多——两个指针来指向左右子树，一个对象来存放数据。
template<class K>
struct BSTNode
{
K _key;
BSTNode<K>* _left;
BSTNode<K>* _right;
BSTNode(const K& key)
:_key(key)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
{}
};
template<class K>
class BSTree
{
typedef BSTNode<K> Node;
public:
……
preivate:
Node* _root = nullptr;
}
三、搜索二叉树的插入
- 树为空树，new一个节点，然后赋值给_root。
- 树不为空树，按⼆叉搜索树性质，插⼊值比当前结点大往右走，插⼊值比当前结点小往左走，找到空位置，插⼊新结点。
注：这里不考虑插入值与节点的值相等的情况。
bool Insert(const K& key)
{
//当_root为空树
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key);
return true;
}
//当_root不为空树
//创建一个parent节点来记录上一层的位置
//创建一个cur节点来判断插入位置
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}四、搜索二叉树的查找
- 从根开始比较，查找x，x比根的值大则往右边走查找，x比根值小则往左边走查找。
- 最多查找⾼度次，⾛到到空，还没找到，这个值不存在。
bool Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return true;
}
}
return false;
}注：若支持插入相同的值，⼀般要求查找中序的第⼀个x，像下面这样↓，有多个值6，返回中序查找的第一个6。
五 、搜索二叉树的删除
搜索二叉树的删除就复杂多了，会有下面四种情况：
- 要删除结点N左右孩子均为空。
- 要删除的结点N左孩子位空，右孩子结点不为空。
- 要删除的结点N右孩子位空，左孩子结点不为空。
- 要删除的结点N左右孩子结点均不为空。
对应以上四种情况的解决⽅案：
- 把N结点的父亲对应孩子指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是⼀样的）
- 把N结点的父亲对应孩子指针指向N的右孩子，直接删除N结点
- 把N结点的父亲对应孩子指针指向N的左孩子，直接删除N结点
- 无法直接删除N结点，因为N的两个孩子无处安放，只能用替换法删除。找N左子树的值最大结点R(最右结点)或者N右子树的值最小结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意⼀个，放到N的位置，都满足⼆叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转而变成删除R结点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除。
注(4)：这里使用找N左子树的值最大结点R(最右结点)
bool Erase(const K& key)
{
Node* cur = _root;
Node* prev = nullptr;
while(cur)
{
if (key < cur->_key)
{
prev = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_key < key)
{
prev = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
//找到了
//只有一边或没有子叶
if (cur->_right == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
if (prev->_right == cur)
{
prev->_right = cur->_left;
}
else
{
prev->_left = cur->_left;
}
}
delete cur;
}
else if(cur->_left == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_right;
}
else
{
if (prev->_right == cur)
{
prev->_right = cur->_right;
}
else
{
prev->_left = cur->_right;
}
}
delete cur;
}
else
{
//找到了有两个子叶
Node* treep = cur;
Node* treec = cur->_right;
while (treec->_left)
{
treep = treec;
treec = treec->_left;
}
cur->_key = treec->_key;
if (treep->_left == treec)
treep->_left = treec->_right;
else
treep->_right = treec->_right;
delete treec;
}
return true;
}
}
return false;
}