高等数学 第二讲 数列极限_收敛数列_海涅定理_单调有界准则
高等数学 第二讲 数列极限
文章目录
- 高等数学 第二讲 数列极限
- 1.前置知识-数列
- 1.1 等差数列与等比数列
- 1.2 一些常见数列的前n项和
- 2.数列极限
- 2.1 数列极限的定义
- 2.2 数列极限(收敛数列)的性质
- 3.海涅定理
- 4.夹逼准则(压缩映射)&&5.单调有界准则
- 6.重难点题型总结
- 6.1 数列极限n趋近于∞时，n开n次方相关问题
- 6.2 多个n次方的和开n次方的数列极限
- 6.3 求解关于sin∞，cos∞，tan∞的数列极限
1.前置知识-数列
1.1 等差数列与等比数列
1.2 一些常见数列的前n项和
2.数列极限
2.1 数列极限的定义
定义:存在一个大于0的极小值ξ，数列第n项减去一个常数a的绝对值小于这个极小值ξ，则常数a是数列xn的极限。也就是说数列收敛于a。
2.2 数列极限(收敛数列)的性质
数列极限若存在(数列收敛)，存在以下性质
- 极限值=a，a是唯一的
- 数列极限存在，数列有界
- 保号性
3.海涅定理
海涅定理是联系数列极限与函数极限的桥梁。
连续的点的极限都在存在➜离散的肯定存在
4.夹逼准则(压缩映射)&&5.单调有界准则
关于夹逼准则和单调有界准则的介绍和用法，写在了另一篇blog:【数列极限证明大题】解题方法，证明数列极限存在并求此极限,单调有界准则
6.重难点题型总结
6.1 数列极限n趋近于∞时，n开n次方相关问题
n → ∞ 时， n n = 1 n 8 + 2 n 4 + 8 n 2 n = 1 , 除非是 n 次方开 n 次方，否则撑不住开 n 次方 2 n = 1 ， 100 n = 1 n\rightarrow ∞时，\sqrt[n]{n} = 1\\\sqrt[n]{n^{8} + 2n^{4} + 8n^{2}} = 1,除非是n次方开n次方，否则撑不住开n次方\\\sqrt[n]{2} = 1，\sqrt[n]{\sqrt{100}} = 1 n→∞时，nn=1nn8+2n4+8n2=1,除非是n次方开n次方，否则撑不住开n次方n2=1，n100=1
6.2 多个n次方的和开n次方的数列极限
结论需记忆
6.3 求解关于sin∞，cos∞，tan∞的数列极限
本质是利用三角函数的周期性，将sin∞化成sin(不是∞)，比如sin(∞-∞)，或者提出来一个∞变为∞*sin(不是无穷)
两种方法:
- 减去等价无穷大，把无穷大拉回常数
- 提出等价无穷大，把无穷大拉回常数
