回溯算法：一个模板解决排列组合问题

回溯算法

在初遇排列组合题目时，总让人摸不着头脑，但是当我做了很多题目后，发现几乎能用同一个模板做完所有这种类型的题目，大大提高了解题效率。回溯是递归的副产品，只要有递归就会有回溯。

回溯法很难，很抽象，很不好理解，回溯法也不是什么高效的算法，因为回溯的本质是穷举，穷举所有可能，然后选出我们想要的答案，如果想让回溯法高效一些，可以加一些剪枝的操作，但也改变不了回溯法就是穷举的本质。

有的同学会问，既然回溯法并不是高效的算法，为什么还要用它？因为没得选，有一些算法能暴力搜出来就不错了，撑死了再剪枝一下，也没有更高效的解法，还要啥自行车。

题目分类

回溯法，一般可以解决如下几种问题：

• 组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
• 切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
• 子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
• 排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
• 棋盘问题：N皇后，解数独等等

在leetcode上的题目我也列出来了。

本文讲解其中的：

39.组合总和
40.组合总和 II

46.全排列
47.全排列 II

78.子集
90.子集 II

模版代码（77.组合）

本文所有题目都可以用以下模板代码解决：

//二维数组result
private  List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();

//一维数组path路径
private  List<Integer> path = new ArrayList<>();


private  void dsf(int n, int k, int startIndex) {
    if (path.size() == k) {
        result.add(new ArrayList<>(path));
        return;
    }
    for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
        path.add(i);
        dsf(n, k, i + 1);
        path.remove(path.size() - 1);
    }
}

中文伪代码

void backtracking(参数) {
    if (终止条件) {
        存放结果;
        return;
    }

    for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
        处理节点;
        backtracking(路径，选择列表); // 递归
        回溯，撤销处理结果
    }
}

模板代码以77.组合进行讲解

题目描述

给定两个整数 n 和 k，返回范围 [1, n] 中所有可能的 k 个数的组合。你可以按 任何顺序 返回答案。

示例 1：

输入： n = 4, k = 2

输出：
[
[2,4],
[3,4],
[2,3],
[1,2],
[1,3],
[1,4],
]

示例 2：

输入： n = 1, k = 1

输出： [[1]]

首先这里要注意的是，这个是组合，组合是不强调元素顺序的，排列是强调元素顺序。例如：{1, 2} 和 {2, 1} 在组合上，就是一个集合，因为不强调顺序，而要是排列的话，{1, 2} 和 {2, 1} 就是两个集合了。

以n = 4, k = 2为例，如下图所示，从上往下看，在第一层的时候，可以选择1，2，3，4，假设第一个选定为1（将选定的元素存入path中，即path=[1]），那么第二层的元素只能选择2，3，4（要保证不相等，不能重复），当第二层的元素选择2，即path=[1,2]时，第二个元素选定后，此时path的长度等于k的长度，一个排列结果就计算出来了，加入到结果result中去，接着回溯，按照同样的逻辑运行下去，最后所有组合结果。

当第一层元素为2的时候，他的下面第二层只能选3，4，因为这里是组合，在元素1的时候已经有了[1,2]，在2的时候如果再选1，即[2,1]其实是同一个结果。

39.组合总和

题目描述

给你一个 无重复元素 的整数数组 candidates 和一个目标整数 target ，找出 candidates 中可以使数字和为目标数 target 的 所有 不同组合 ，并以列表形式返回。你可以按 任意顺序 返回这些组合。

candidates 中的 同一个 数字可以 无限制重复被选取 。如果至少一个数字的被选数量不同，则两种组合是不同的。

对于给定的输入，保证和为 target 的不同组合数少于 150 个。

示例 1：

输入： candidates = [2,3,6,7], target = 7
输出： [[2,2,3],[7]]
解释：
2 和 3 可以形成一组候选，2 + 2 + 3 = 7 。注意 2 可以使用多次。
7 也是一个候选， 7 = 7 。
仅有这两种组合。

示例 2：

输入: candidates = [2,3,5], target = 8
输出: [[2,2,2,2],[2,3,3],[3,5]]

示例 3：

输入: candidates = [2], target = 1
输出: []

下面是画的树形结构

第一层毫无疑问有三种方式，2，3，5，当为2的时候第二层有三种选择，还是2，3，5，因为在题目当中是允许同一个元素重复使用的，当为3的时候，只能选择3和5，为什么不能选择2呢，因为这一题是组合，即[2，3]和[3，2]是一样的，如果这里能选2，和前面的2选3势必会造成重复。也就是当前元素的下一层，只能选当前元素以及后面的元素。

代码只需要在模版代码上稍加修改即可：

    // 二维数组result
    private List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();

    // 一维数组path路径
    private List<Integer> path = new ArrayList<>();

    public List<List<Integer>> combinationSum(int[] candidates, int target) {
        dsf(candidates, target, 0);
        return result;
    }

    private void dsf(int[] candidates, int target, int startIndex) {
        Integer sum = path.stream().mapToInt(Integer::intValue).sum();
        if (sum > target) {
            return;
        }
        if (sum == target) {
            result.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i < candidates.length; i++) {
            path.add(candidates[i]);
            dsf(candidates, target, i);
            path.remove(path.size() - 1);
        }
    }

40.组合总和 II

题目描述

给定一个候选人编号的集合 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。

candidates 中的每个数字在每个组合中只能使用 一次 。

注意： 解集不能包含重复的组合。

示例 1:

输入: candidates = [10,1,2,7,6,1,5], target = 8,
输出:
[
[1,1,6],
[1,2,5],
[1,7],
[2,6]
]

示例 2:

输入: candidates = [2,5,2,1,2], target = 5,
输出:
[
[1,2,2],
[5]
]

本题和39题有两个区别：

1、本题candidates 中的每个数字在每个组合中只能使用一次，39题是可以多次使用。

2、本题数组candidates的元素是有重复的，39题是无重复元素的数组candidates。

区别1只能使用一次，问题不大，区别2candidates里有重复的元素，这个区别很大，难点在于去重。去重是什么意思，示例 1中的[1,2,5]有两个含义，因为candidates里有两个1，所以计算出来的结果会有两个[1,2,5]，即第二个1和第六个1，去重就是去的这里的重。有的同学想，我把所有组合求出来，再用set或者map去重，这么做很容易超时！所以要在搜索的过程中就去掉重复组合。 这也是这道题的难点。

下面继续画树形结构：

这里以集合[1,1,2]，target=3做讲解，注意在做题目之前要先将candidates数组排序，不然这道题也是不好做的。

这道题的关键就在于i > 0 && candidates[i] == candidates[i - 1] && used[i - 1] == 0 这句话，一些解释说明，为什么这么写，我也写在上面的树形图上了，大家再想下思考下理解下。

代码如下：

    // 二维数组result
    private List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();

    // 一维数组path路径
    private List<Integer> path = new ArrayList<>();

    public List<List<Integer>> combinationSum2(int[] candidates, int target) {
        // 排序
        Arrays.sort(candidates);
        int[] used = new int[candidates.length];
        dsf(candidates, target, 0, used);
        return result;
    }

    private void dsf(int[] candidates, int target, int startIndex, int[] used) {
        Integer sum = path.stream().mapToInt(Integer::intValue).sum();
        if (sum > target) {
            return;
        }
        if (sum == target) {
            result.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i < candidates.length; i++) {
            if (i > 0 && candidates[i] == candidates[i - 1] && used[i - 1] == 0) {
                continue;
            }
            path.add(candidates[i]);
            used[i] = 1;
            dsf(candidates, target, i + 1, used);
            path.remove(path.size() - 1);
            used[i] = 0;
        }
    }

46.全排列

题目描述

给定一个不含重复数字的数组 nums ，返回其 所有可能的全排列 。你可以 按任意顺序 返回答案。

示例 1：

输入： nums = [1,2,3]
输出： [[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]

示例 2：

输入： nums = [0,1]
输出： [[0,1],[1,0]]

示例 3：

输入： nums = [1]
输出： [[1]]

本题是全排列，和组合不一样，即[1,2]和[2,1]算两种答案，差异点就在for循环数组的时候，组合是从startIndex开始，而这里是从0开始。下面是树形结构：

下面是代码：

    // 二维数组result
    private List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();

    // 一维数组path路径
    private List<Integer> path = new ArrayList<>();

    public List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
        int[] used = new int[nums.length];
        dsf(nums, used);
        return result;
    }

    private void dsf(int[] nums, int[] used) {
        if (path.size() == nums.length) {
            result.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            if (used[i] == 1) {
                continue;
            }
            path.add(nums[i]);
            used[i] = 1;
            dsf(nums, used);
            path.remove(path.size() - 1);
            used[i] = 0;
        }
    }

做过上面三道题以后，这道题真的是很容易，在模版代码上稍微改改即可。

47.全排列 II

题目描述

给定一个可包含重复数字的序列 nums ，按任意顺序 返回所有不重复的全排列。

示例 1：

输入： nums = [1,1,2]
输出：
[[1,1,2],
 [1,2,1],
 [2,1,1]]

示例 2：

输入： nums = [1,2,3]
输出： [[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]

这道题和40.组合总和 II是一样的，核心就是那两行代码，所以我讲题目是有循序渐进的过程，40题做过了，这道题也是很快就能通过的。

i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == 0
树形结构不画完整了，就是和大家讲下为啥要写这行代码，就是当第一个1选出来，剩下的集合是[1,2]，最终结果是[1,1,2]和[1,2,1]，第二个1选出来，剩下的集合也是[1,2]，那么最终结果也是[1,1,2]和[1,2,1]，那么这个结果就是重复的，所以分支2要剪掉，所以当nums[i] == nums[i - 1] 的时候要continue掉，为啥不是break，因为后面的2即分支3还得执行。

而used[i - 1] == 0是用来控制树层去重，used[i - 1] == 1是树枝去重。

代码如下：

    // 二维数组result
    private List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();

    // 一维数组path路径
    private List<Integer> path = new ArrayList<>();

    public List<List<Integer>> permuteUnique(int[] nums) {
        int[] used = new int[nums.length];
        // 排序
        Arrays.sort(nums);
        dsf(nums, used);
        return result;
    }

    private void dsf(int[] nums, int[] used) {
        if (path.size() == nums.length) {
            result.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            // 树层去重
            if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == 0) {
                continue;
            }
            if (used[i] == 1) {
                continue;
            }
            path.add(nums[i]);
            used[i] = 1;
            dsf(nums, used);
            path.remove(path.size() - 1);
            used[i] = 0;
        }
    }

78. 子集

题目描述

给你一个整数数组 nums ，数组中的元素 互不相同 。返回该数组所有可能的子集（幂集）。

解集 不能 包含重复的子集。你可以按 任意顺序 返回解集。

示例 1：

输入： nums = [1,2,3]
输出： [[],[1],[2],[1,2],[3],[1,3],[2,3],[1,2,3]]

示例 2：

输入： nums = [0]
输出： [[],[0]]

这道题在模版代码77的基础上改改即可，只是收集结果的时机阶段不同，77题是在叶子节点，本题是在每个节点就收集，然后排列方式是组合，即[2,3]和[3,2]是一样的，所以在下一层递归的时候要用startIndex控制开始的位置，只能是当前元素的后面元素。

树形结构：

代码：

    // 二维数组result
    private List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();

    // 一维数组path路径
    private List<Integer> path = new ArrayList<>();

    public List<List<Integer>> subsets(int[] nums) {
        dsf(nums, 0);
        return result;
    }

    private void dsf(int[] nums, int startIndex) {
        result.add(new ArrayList<>(path));
        if (startIndex >= nums.length) {
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i < nums.length; i++) {
            path.add(nums[i]);
            dsf(nums, i + 1);
            path.remove(path.size() - 1);
        }
    }

90.子集 II

给你一个整数数组 nums ，其中可能包含重复元素，请你返回该数组所有可能的子集（幂集）。

解集 不能 包含重复的子集。返回的解集中，子集可以按 任意顺序 排列。

示例 1：

输入： nums = [1,2,2]
输出： [[],[1],[1,2],[1,2,2],[2],[2,2]]

示例 2：

输入： nums = [0]
输出： [[],[0]]

有了前面组合，去重的基础，本题可以说是秒了，直接贴代码

    // 二维数组result
    private List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();

    // 一维数组path路径
    private List<Integer> path = new ArrayList<>();

    public List<List<Integer>> subsetsWithDup(int[] nums) {
        // 排序
        Arrays.sort(nums);
        int[] used = new int[nums.length];
        dsf(nums, 0, used);
        return result;
    }

    private void dsf(int[] nums, int startIndex, int[] used) {
        result.add(new ArrayList<>(path));
        if (startIndex >= nums.length) {
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i < nums.length; i++) {
            if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == 0) {
                continue;
            }
            path.add(nums[i]);
            used[i] = 1;
            dsf(nums, i + 1, used);
            path.remove(path.size() - 1);
            used[i] = 0;
        }
    }

后记

本文在做回溯算法的时候一定要画树形结构，这样有助于思考解题，不然光想是很抽象的。作者在几年前也刷过题，这次在写文章的时候专门整理又刷了一遍，第二次做会比第一次做更加清晰明了。刷题做题的难点在于坚持，大家共勉。

本文树形结构：https://www.processon.com/view/link/6702576cda38ea3e04a5ae42

本文代码：https://github.com/xuhaoj/DataStructure