【高等代数笔记】线性空间（十九-二十四上半部分）

课程视频剪辑得太抽象了，一节课不能完整学完，拆的零零散散得。

3. 线性空间

3.19 满秩矩阵

【推论4】设$\text{rank}(\mathbf{A})=r$，则$\mathbf{A}$的不为0的$r$阶子式所在的列（行）是$\mathbf{A}$的列（行）向量组的一个极大线性无关组。

【证】这个$r$阶子式的列向量组线性无关。从而它们的延伸组${\mathbf{\alpha }}_{j_1},..{\mathbf{\alpha }}_{j_r}$也线性无关。

又由于$\text{rank}(\mathbf{A})=r$，因此${\mathbf{\alpha }}_{j_1},..{\mathbf{\alpha }}_{j_r}$就是$\mathbf{A}$的列向量组的一个极大线性无关组。

【定义2】$n$阶矩阵$\mathbf{A}$的秩等于$n$，则$\mathbf{A}$称为满秩矩阵。
【推论5】$n$阶矩阵$\mathbf{A}$满秩$\iff \text{rank}(A)=n\iff \mathbf{A}$的不为0子式的最高阶数为$n\iff |\mathbf{A}|\ne 0$

3.20 线性方程组有解判别定理

【定理1】数域$\text{K}$上$n$元线性方程组有解$\iff$增广矩阵的秩$\text{rank}(\tilde{\mathbf{A}})=$系数矩阵的秩$\text{rank}(\mathbf{A})$

【证】记矩阵$\mathbf{A}=({\mathbf{\alpha }}_1,...,{\mathbf{\alpha }}_n)$增广矩阵$\tilde{\mathbf{A}}=({\mathbf{\alpha }}_1,...,{\mathbf{\alpha }}_n,\mathbf{\beta })$，
$x_1{\mathbf{\alpha }}_1+...+x_n{\mathbf{\alpha }}_n=\mathbf{\beta }\iff \mathbf{\beta }\in <{\mathbf{\alpha }}_1,...,{\mathbf{\alpha }}_n>\iff {\mathbf{\alpha }}_1,...,{\mathbf{\alpha }}_n,\mathbf{\beta }\in <{\mathbf{\alpha }}_1,...,{\mathbf{\alpha }}_n>\iff <{\mathbf{\alpha }}_1,...,{\mathbf{\alpha }}_n,\mathbf{\beta }>\subseteq <{\mathbf{\alpha }}_1,...,{\mathbf{\alpha }}_n>且<{\mathbf{\alpha }}_1,...,{\mathbf{\alpha }}_n>\subseteq <{\mathbf{\alpha }}_1,...,{\mathbf{\alpha }}_n,\mathbf{\beta }>（小的是大的子空间）\iff <{\mathbf{\alpha }}_1,...,{\mathbf{\alpha }}_n>=<{\mathbf{\alpha }}_1,...,{\mathbf{\alpha }}_n,\mathbf{\beta }>\iff \dim <{\mathbf{\alpha }}_1,...,{\mathbf{\alpha }}_n,\mathbf{\beta }=\dim <{\mathbf{\alpha }}_1,...,{\mathbf{\alpha }}_n>（子空间维数与原空间维数相等，所以子空间等于整个空间）\iff \text{rank}(\tilde{\mathbf{A}})=\text{rank}(\mathbf{A})$

有解时，$\tilde{\mathbf{A}}$经过初等行变换化成的阶梯型矩阵的非0行的个数r$=\text{rank}(\tilde{\mathbf{A}})=\text{rank}(\mathbf{A})=$未知量个数$n$，当$\text{rank}(\mathbf{A})=$未知量个数$n$的时候，方程组有唯一解；当$\text{rank}(\mathbf{A})<$未知量个数$n$的时候，方程组有无穷多个解。
特别地
【推论1】数域$\text{K}$上$n$元齐次线性方程组有非0解$\iff \text{rank}(\mathbf{A})<$未知量个数$n$；数域$\text{K}$上$n$元齐次线性方程组有唯一0解$\iff \text{rank}(\mathbf{A})=$未知量个数$n$

3.21 齐次线性方程组解集的结构

数域$\text{K}$上$n$元齐次线性方程组
$x_1{\mathbf{\alpha }}_1+...+x_n{\mathbf{\alpha }}_n=0$…(1)
的解集记作$\text{W}$
设(1)有非0解，$\text{W}\subseteq {\text{K}}^n$（非空子集）
【性质1】若$\mathbf{\eta },\mathbf{\delta }\in \text{W}$，则$\mathbf{\eta }+\mathbf{\delta }\in \text{W}$

【证】记$\mathbf{\eta }=(c_1,...,c_n{)}^{\prime },\mathbf{\delta }=(d_1,...,d_n{)}^{\prime }$
由于它们两个都是方程组的解，所以：
$c_1{\mathbf{\alpha }}_1+...+c_n{\mathbf{\alpha }}_n=0$
$d_1{\mathbf{\alpha }}_1+...+d_n{\mathbf{\alpha }}_n=0$
将上面式子相加得到
$(c_1+d_1){\mathbf{\alpha }}_1+...+(c_n+d_n){\mathbf{\alpha }}_n=0$
则$\mathbf{\eta }+\mathbf{\delta }=(c_1+d_1,...,c_n+d_n{)}^{\prime }$也是方程组的解，即$\mathbf{\eta }+\mathbf{\delta }\in \text{W}$
所以对加法封闭，证毕。

【性质2】若$\mathbf{\eta }\in \text{W},k\in \text{K}$，则$k\mathbf{\eta }\in \text{W}$

【证】记$\mathbf{\eta }=(c_1,...,c_n{)}^{\prime }$，由于$\mathbf{\eta }$是方程组的解，所以
$c_1{\mathbf{\alpha }}_1+...+c_n{\mathbf{\alpha }}_n=0$
上面式子左右两边同时乘$k$得到
$k{c}_1{\mathbf{\alpha }}_1+...+k{c}_n{\mathbf{\alpha }}_n=0$
即$k\mathbf{\eta }\in \text{W}$

所以(1)的解集$\text{W}$是${\text{K}}^n$的子空间，称$\text{W}$为齐次线性方程组(1)的解空间。
当(1)有非零解时，求$\text{W}$的基和维数。（未知数个数为$n$）
$\text{rank}(\mathbf{A})=r<n$
$\mathbf{A}$经过初等行变换化成阶梯型矩阵$\mathbf{J}$，于是$\mathbf{J}$有$r$个非0行，即$\mathbf{J}$有$r$个主元，不妨设$r$个主元它们分别在前$r$列，从而齐次线性方程组(1)的一般解为$\{\begin{array}{ccc}{x}_1& =& -b_{1,r+1}{x}_{r+1}-b_{1,r+2}{x}_{r+2}-...-b_{1,n}{x}_n\\ ⋮& & \\ x_r& =& -b_{r,r+1}{x}_{r+1}-b_{r,r+2}{x}_{r+2}-...-b_{r,n}{x}_n\end{array}$，让自由未知量$x_{r+1},...,x_n$取$n-r$组数$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ ⋮\\ 0\end{array}\right),\cdots ,\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}\right)$…(2)，得到方程组(1)的解：
${\mathbf{\eta }}_1=\left(\begin{array}{c}-b_{1,r+1}\\ ⋮\\ -b_{r,r+1}\\ 1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right),{\mathbf{\eta }}_2=\left(\begin{array}{c}-b_{1,r+2}\\ ⋮\\ -b_{r,r+2}\\ 0\\ 1\\ ⋮\\ 0\end{array}\right),\cdots ,{\mathbf{\eta }}_{n-r}=\left(\begin{array}{c}-b_{1,n}\\ ⋮\\ -b_{r,n}\\ 0\\ 1\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)$…(3)
易看出向量组(2)线性无关（拼成的矩阵的行列式不得0），从而其延伸组${\mathbf{\eta }}_1,{\mathbf{\eta }}_2...,{\mathbf{\eta }}_n-r$也线性无关，任取$\text{W}$的一个解向量$\mathbf{\eta }=\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ ⋮\\ c_r\\ c_{r+1}\\ ⋮\\ c_n\end{array}\right)$，由一般解公式得$c_1=-b_{1,r+1}{c}_{r+1}-...-b_{1n}{c}_n,...,c_r=-b_{r,r+1}{c}_{r+1}-...-b_{rn}{c}_n$，从而$\mathbf{\eta }=\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ ⋮\\ c_r\\ c_{r+1}\\ ⋮\\ c_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-b_{1,r+1}{c}_{r+1}-...-b_{1n}{c}_n\\ ⋮\\ -b_{r,r+1}{c}_{r+1}-...-b_{rn}{c}_n\\ 1\cdot c_{r+1}+...0\cdot c_n\\ ⋮\\ 0\cdot c_{r+1}+...+1\cdot c_n\end{array}\right)=c_{r+1}\left(\begin{array}{c}-b_{1,r+1}\\ ⋮\\ -b_{r,r+1}\\ 1\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)+...+c_n\left(\begin{array}{c}-b_{1n}\\ ⋮\\ -b_{rn}\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}\right)=c_{r+1}{\mathbf{\eta }}_1+...+c_n{\mathbf{\eta }}_{n-r}$
因此${\mathbf{\eta }}_1,...,{\mathbf{\eta }}_{n-r}$是$\text{W}$的一个基，从而$\dim \text{W}=n-r=n-\text{rank}(\mathbf{A})$，于是就证明了下面的定理1
【定理1】数域$\text{K}$上$n$元齐次线性方程组(1)有非0解时，它的解空间$\text{W}$的维数$\dim \text{W}=$未知量个数$n-$系数矩阵的秩$\text{rank}(\mathbf{A})$，习惯上把$\text{W}$的基称为齐次线性方程组(1)的一个基础解系。
设${\mathbf{\eta }}_1,...,{\mathbf{\eta }}_{n-r}$是齐次线性方程组(1)的一个基础解析，那么它的全部解为$k_1{\mathbf{\eta }}_1+...+k_{n-r}{\mathbf{\eta }}_{n-r}\in \text{K}$

3.22 非齐次线性方程组解集的结构

数域$\text{K}$上$n$元非齐次线性方程组
$x_1{\mathbf{\alpha }}_1+...+x_n{\mathbf{\alpha }}_n=\mathbf{\beta }$
它的解集记作$\text{U}$，考虑相应的齐次线性方程组
$x_1{\mathbf{\alpha }}_1+...+x_n{\mathbf{\alpha }}_n=0$
它的解集记作$\text{W}$
【性质1】若$\mathbf{\gamma }=(a_1,...,a_n{)}^{\prime },\mathbf{\delta }=(b_1,..,b_n{)}^{\prime }\in \text{U}$，则$\mathbf{\gamma }-\mathbf{\delta }=(a_1-b_1,...,a_n-b_n{)}^{\prime }\in \text{W}$，即非齐次线性方程组的解的差是对应的齐次线性方程组的解。

【证】$a_1{\mathbf{\alpha }}_1+...+a_n{\mathbf{\alpha }}_n=\mathbf{\beta }$
$b_1{\mathbf{\alpha }}_1+...+b_n{\mathbf{\alpha }}_n=\mathbf{\beta }$
两个式子相减得
$(a_1-b_1){\mathbf{\alpha }}_1+...+(a_n-b_n){\mathbf{\alpha }}_n=0$
则$\mathbf{\gamma }-\mathbf{\delta }=(a_1-b_1,...,a_n-b_n{)}^{\prime }\in \text{W}$

【性质2】若$\mathbf{\gamma }=(a_1,...,a_n{)}^{\prime }\in \text{U},\mathbf{\eta }=(c_1,...,c_n{)}^{\prime }\in \text{W}$，则$\mathbf{\gamma }+\mathbf{\eta }\in \text{U}$，即齐次线性方程组的解加非齐次线性方程组的解等于非齐次线性方程组的解。

【证】$a_1{\mathbf{\alpha }}_1+...+a_n{\mathbf{\alpha }}_n=\mathbf{\beta }$
$x_1{\mathbf{\alpha }}_1+...+c_n{\mathbf{\alpha }}_n=0$
将上面两个式子相加得：
$(a_1+c_1){\mathbf{\alpha }}_1+...+(a_n+c_n){\mathbf{\alpha }}_n=\mathbf{\beta }$
则$\mathbf{\gamma }+\mathbf{\eta }\in \text{U}$

设${\mathbf{\gamma }}_0\in \text{U}$，称${\mathbf{\gamma }}_0$是非齐次线性方程组的一个特解。
γ 0 + W : = { γ 0 + η ∣ η ∈ W } = U \boldsymbol\gamma_{0}+\textbf{W}:=\{\boldsymbol\gamma_{0}+\boldsymbol\eta|\boldsymbol\eta\in\textbf{W}\}=\textbf{U} γ0​+W:={γ0​+η∣η∈W}=U
任取$\mathbf{\gamma }\in \text{U},(\mathbf{\gamma }-{\mathbf{\gamma }}_0)\in \text{W}$记作$\mathbf{\eta }$，从而$\mathbf{\gamma }={\mathbf{\gamma }}_0+\mathbf{\eta }\in \text{W}$
于是就证明了
【定理1】数域$\text{K}$上$n$元非齐次线性方程组(1)的解集$\text{U}$为$\text{U}={\mathbf{\gamma }}_0+\text{W}$，其中${\mathbf{\gamma }}_0$是非齐次方程组的一个特解，$\text{W}$是齐次线性方程组的通解，$\text{U}$不是${\text{K}}^n$的子空间，将${\gamma }_0$称为$\text{W}$型的一个线性流形。（比如线性空间中，过顶点$O$的平面是子空间，不过顶点$O$的平面叫线性流形）或称为$\text{W}$的一个陪基。
设$\text{W}$的一个基础解系${\mathbf{\eta }}_1,...,{\mathbf{\eta }}_{n-1}$，则非齐次线性方程组(1)的全部解为${\mathbf{\gamma }}_0+k_1{\mathbf{\eta }}_1+...+k_{n-r}{\mathbf{\eta }}_{n-r}$，其中$k_1,...,k_{n-r}\in \text{K}$，${\mathbf{\gamma }}_0$是非齐次线性方程组的一个特解。
【解非齐次线性方程组，解对应的齐次方程组，然后再令自由未知量取0或1，最后解得齐次通解+非齐次特解的形式】

3.23 子空间的运算

过顶点$O$的平面，平面${\text{V}}_1$和${\text{V}}_2$的交集是过$O$点的一条直线$l$.

设$\text{V}$是数域$\text{K}$上的任意一个线性空间，${\text{V}}_1$与${\text{V}}_2$都是$\text{V}$的子空间，${\text{V}}_1\cap {\text{V}}_2$是$\text{V}$的子空间。（子空间的交集还是子空间，满足${\text{V}}_1\cap {\text{V}}_2={\text{V}}_2\cap {\text{V}}_1$，所以子空间的交满足交换律，由$({\text{V}}_1\cap {\text{V}}_2)\cap {\text{V}}_3={\text{V}}_1\cap ({\text{V}}_2\cap {\text{V}}_3)$，则子空间的交满足结合律，且若干个子空间的交还是子空间$\bigcap _{i=1}^s{\text{V}}_i={\text{V}}_1\cap {\text{V}}_2\cap ...\cap {\text{V}}_s$）

【证】$0\in {\text{V}}_1\cap {\text{V}}_2$
任取$\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }\in {\text{V}}_1\cap {\text{V}}_2$
由于$\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }\in {\text{V}}_1\cap {\text{V}}_2$，所以$\mathbf{\alpha }\in {\text{V}}_1,\mathbf{\beta }\in {\text{V}}_1$，所以$\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }\in {\text{V}}_1$，同理$\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }\in {\text{V}}_2$
从而$\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }\in {\text{V}}_1\cap {\text{V}}_2$
所以${\text{V}}_1\cap {\text{V}}_2$对加法封闭；
任取$\mathbf{\alpha }\in {\text{V}}_1\cap {\text{V}}_2,k\in \text{K}$则$k\mathbf{\alpha }\in {\text{V}}_1\cap {\text{V}}_2$
因此${\text{V}}_1\cap {\text{V}}_2$是$\text{V}$的一个子空间。

平面${\text{V}}_1$和平面${\text{V}}_2$的并集不是子空间，因为：

图中，${\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2$不在${\text{V}}_1$和${\text{V}}_2$平面上
设${\text{V}}_1$和${\text{V}}_2$都是$\text{V}$的子空间，则 V 1 + V 2 : = { α 1 + α 1 ∣ α 1 ∈ V 1 , α 2 ∈ V 2 } \textbf{V}_1+\textbf{V}_2:=\{\boldsymbol\alpha_1+\boldsymbol\alpha_1|\boldsymbol\alpha_1\in\textbf{V}_1,\boldsymbol\alpha_2\in\textbf{V}_2\} V1​+V2​:={α1​+α1​∣α1​∈V1​,α2​∈V2​}
由于$0=0+0$，因此$0\in {\text{V}}_1+{\text{V}}_2$
任取${\text{V}}_1+{\text{V}}_2$的两个向量${\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\beta }}_1+{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\beta }}_1\in {\text{V}}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\beta }}_2\in {\text{V}}_2$
则$({\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2)+({\mathbf{\beta }}_1+{\mathbf{\beta }}_2)=({\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\beta }}_1)+({\mathbf{\alpha }}_2+{\mathbf{\beta }}_2)$，
由于${\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\beta }}_1\in {\text{V}}_1,{\mathbf{\alpha }}_2+{\mathbf{\beta }}_2\in {\text{V}}_2$
则$({\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2)+({\mathbf{\beta }}_1+{\mathbf{\beta }}_2)=({\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\beta }}_1)+({\mathbf{\alpha }}_2+{\mathbf{\beta }}_2)\in {\text{V}}_1+{\text{V}}_2$，所以对加法封闭
$k\in \text{K},k({\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2)=k{\mathbf{\alpha }}_1+k{\mathbf{\alpha }}_2\in {\text{V}}_1+{\text{V}}_2$，所以对数量乘法封闭
因此${\text{V}}_1+{\text{V}}_2$是$\text{V}$的一个子空间，把${\text{V}}_1+{\text{V}}_2$称为子空间${\text{V}}_1$和${\text{V}}_2$的和。
同样地满足交换律，结合律。

• ${\text{V}}_1+{\text{V}}_2={\text{V}}_2+{\text{V}}_1$
• $({\text{V}}_1+{\text{V}}_2)+{\text{V}}_3={\text{V}}_1+({\text{V}}_2+{\text{V}}_3)$
• $\sum _{i=1}^s{\text{V}}_i:={\text{V}}_1+{\text{V}}_2+...+{\text{V}}_s$也是$\text{V}$的一个子空间。

【命题1】$<{\mathbf{\alpha }}_1,...,{\mathbf{\alpha }}_s>+<{\mathbf{\beta }}_1,...,{\mathbf{\beta }}_r>=k_1{\mathbf{\alpha }}_1+...+k_s{\mathbf{\alpha }}_s+l_1{\mathbf{\beta }}_1+..+l_r{\mathbf{\beta }}_r=<{\mathbf{\alpha }}_1,...,{\mathbf{\alpha }}_s,{\mathbf{\beta }}_1,...,{\mathbf{\beta }}_r>$

【定理2】【子空间的维数公式】设${\text{V}}_1,{\text{V}}_2$都是$\text{V}$的有限维子空间，$\dim ({\text{V}}_1+{\text{V}}_2)=\dim ({\text{V}}_1)+\dim ({\text{V}}_2)-\dim ({\text{V}}_1\cap {\text{V}}_2)$

【证】${\text{V}}_1\cap {\text{V}}_2$取一个基${\mathbf{\alpha }}_1,...,{\mathbf{\alpha }}_m$，把它分别扩充成${\text{V}}_1$的一个基${\mathbf{\alpha }}_1,...,{\mathbf{\alpha }}_m,{\mathbf{\beta }}_1,...,{\mathbf{\beta }}_{n_1-m}$；
${\text{V}}_2$的一个基${\mathbf{\alpha }}_1,...,{\mathbf{\alpha }}_m,{\mathbf{\gamma }}_1,...,{\mathbf{\gamma }}_{n_2-m}$；其中$n_1$是${\text{V}}_1$的维数，$n_2$是${\text{V}}_2$的维数
则${\text{V}}_1+{\text{V}}_2=<{\mathbf{\alpha }}_1,...,{\mathbf{\alpha }}_m,{\mathbf{\beta }}_1,...,{\mathbf{\beta }}_{n_1-m}>+<{\mathbf{\alpha }}_1,...,{\mathbf{\alpha }}_m,{\mathbf{\gamma }}_1,...,{\mathbf{\gamma }}_{n_2-m}>=<{\mathbf{\alpha }}_1,...,{\mathbf{\alpha }}_m,{\mathbf{\beta }}_1,...,{\mathbf{\beta }}_{n_1-m},{\mathbf{\gamma }}_1,...,{\mathbf{\gamma }}_{n_2-m}>$
设$k_1{\mathbf{\alpha }}_1+...+k_m{\mathbf{\alpha }}_m+p_1{\mathbf{\beta }}_1+...+p_{n_1-m}{\mathbf{\beta }}_{n_1-m}+q_1{\mathbf{\gamma }}_1+...+q_{n_2-m}{\mathbf{\gamma }}_{n_2-m}=0$…(1)
则$q_1{\mathbf{\gamma }}_1+...+q_{n_2-m}{\mathbf{\gamma }}_{n_2-m}=-k_1{\mathbf{\alpha }}_1-...-k_m{\mathbf{\alpha }}_m-p_1{\mathbf{\beta }}_1-...-p_{n_1-m}{\mathbf{\beta }}_{n_1-m}\in {\text{V}}_1\cap {\text{V}}_2$
$q_1{\mathbf{\gamma }}_1+...+q_{n_2-m}{\mathbf{\gamma }}_{n_2-m}\in {\text{V}}_2,-k_1{\mathbf{\alpha }}_1-...-k_m{\mathbf{\alpha }}_m-p_1{\mathbf{\beta }}_1-...-p_{n_1-m}{\mathbf{\beta }}_{n_1-m}\in {\text{V}}_1$
于是$q_1{\mathbf{\gamma }}_1+...+q_{n_2-m}{\mathbf{\gamma }}_{n_2-m}=l_1{\mathbf{\alpha }}_1+...+l_m{\mathbf{\alpha }}_m$
从而$-l_1{\mathbf{\alpha }}_1-l_m{\mathbf{\alpha }}_m+q_1{\mathbf{\gamma }}_1+...+q_{n_2-m}{\mathbf{\gamma }}_{n_2-m}=0$
因为基是线性无关的，
因此$l_1=...=l_m=q_1=...=q_{n_2-m}=0$代入(1)式得$k_1{\mathbf{\alpha }}_1+...+k_m{\mathbf{\alpha }}_m+p_1{\mathbf{\beta }}_1+...+p_{n_1-m}{\mathbf{\beta }}_{n_1-m}$
因为基是线性无关的
从而$k_1=...=k_m=p_1=...=p_{n_1-m}=0$
所以$<{\mathbf{\alpha }}_1,...,{\mathbf{\alpha }}_m,{\mathbf{\gamma }}_1,...,{\mathbf{\gamma }}_{n_2-m}>$线性无关
从而$\dim ({\text{V}}_1+{\text{V}}_2)=m+(n_1-m)+(n_2-m)=n_1+n_2-m=\dim ({\text{V}}_1)+\dim ({\text{V}}_2)-\dim ({\text{V}}_1\cap {\text{V}}_2)$