【数学二】一元函数微分学-微分的计算
考试要求
1、理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的关系.
2、掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.
3、了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.
4、会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.
5、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，了解并会用柯西中值定理.
6、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.
7、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法, 掌握函数最大值和最小值的求法及其应用.
8、会用导数判断函数图形的凹凸性(注:在区间(a.b)内,设函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)具有二阶导数当
f
′
′
(
x
)
>
0
f^{''}(x)>0
f′′(x)>0时，
f
(
x
)
f(x)
f(x)的图形是凹的;当
f
′
′
(
x
)
>
0
f^{''}(x)>0
f′′(x)>0时,
f
(
X
)
f(X)
f(X)的图形是凸的)，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形.
9、了解曲率、曲率圆和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径.
微分的计算
若函数
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x)可微，则其微分计算公式为
d
y
=
f
′
(
x
)
d
x
dy=f^{'}(x)dx
dy=f′(x)dx， 即函数的微分等于函数的导数乘以自变量的微分 。
微分的四则运算
设
u
(
x
)
，
v
(
x
)
u(x)，v(x)
u(x)，v(x) 可微，则：
d
[
u
(
x
)
±
v
(
x
)
]
=
d
u
(
x
)
±
d
v
(
x
)
d
[
u
(
x
)
v
(
x
)
]
=
u
(
x
)
d
v
(
x
)
+
v
(
x
)
d
u
(
x
)
d
[
u
(
x
)
v
(
x
)
]
=
v
(
x
)
d
u
(
x
)
−
u
(
x
)
d
v
(
x
)
v
2
(
x
)
(
v
(
x
)
≠
0
)
d[u(x)\pm v(x)]=du(x)\pm dv(x) \\ \quad \\ d[u(x)v(x)]=u(x)dv(x)+v(x)du(x)\\ \quad \\ d[\frac{u(x)}{v(x)}]=\frac{v(x)du(x)-u(x)dv(x)}{v^2(x)} \quad \quad (v(x) \ne 0)
d[u(x)±v(x)]=du(x)±dv(x)d[u(x)v(x)]=u(x)dv(x)+v(x)du(x)d[v(x)u(x)]=v2(x)v(x)du(x)−u(x)dv(x)(v(x)=0)
一阶微分形式的不变性 设
y
=
f
(
u
)
y=f(u)
y=f(u)对
u
u
u可导，
u
=
φ
(
x
)
u=\varphi(x)
u=φ(x) 可导，则复合函数
y
=
f
[
φ
(
x
)
]
y=f[\varphi(x)]
y=f[φ(x)]的微分为
d
y
=
f
′
[
φ
(
x
)
]
d
φ
(
x
)
=
f
′
[
φ
(
x
)
]
φ
′
(
x
)
d
x
dy=f^{'}[\varphi(x)]d\varphi(x)=f^{'}[\varphi(x)]\varphi^{'}(x)dx
dy=f′[φ(x)]dφ(x)=f′[φ(x)]φ′(x)dx
即复合函数的微分等于外出函数的导数乘以内层函数的微分
练习1：求函数
y
=
x
2
e
x
+
x
−
3
y=x^2e^x+x-3
y=x2ex+x−3的微分
解: 利用公式： d y = f ′ ( x ) d x y ′ = 2 x e x + e x x 2 + 1 d y = ( 2 x e x + e x x 2 + 1 ) d x 利用微分的四则运算 d y = d ( x 2 e x + x − 3 ) = d ( x 2 e x ) + d x − d 3 = x 2 d ( e x ) + e x d ( x 2 ) + d x − d 3 = x 2 e x d x + 2 x e x d x + d x + 0 = ( 2 x e x + e x x 2 + 1 ) d x 利用公式：dy=f^{'}(x)dx \\ \quad \\ y^{'}=2xe^x+e^xx^2+1\\ \quad \\ dy=(2xe^x+e^xx^2+1)dx \\ \quad \\ 利用微分的四则运算 \\ \quad \\ dy=d(x^2e^x+x-3)=d(x^2e^x)+dx-d3\\ \quad \\ =x^2d(e^x)+e^xd(x^2)+dx-d3 \\ \quad \\ =x^2e^xdx+2xe^xdx+dx+0 \\ \quad \\ =(2xe^x+e^xx^2+1)dx 利用公式：dy=f′(x)dxy′=2xex+exx2+1dy=(2xex+exx2+1)dx利用微分的四则运算dy=d(x2ex+x−3)=d(x2ex)+dx−d3=x2d(ex)+exd(x2)+dx−d3=x2exdx+2xexdx+dx+0=(2xex+exx2+1)dx
练习2：求
y
=
cos
x
1
+
sin
x
y=\frac{\cos x}{1+\sin x}
y=1+sinxcosx的微分
解： 利用公式： d y = f ′ ( x ) d x y ′ = − sin x ( 1 + sin x ) − cos x cos x ( 1 + sin x ) 2 = − 1 1 + sin x d y = − 1 1 + sin x d x 利用微分的四则运算： d [ u ( x ) v ( x ) ] = v ( x ) d u ( x ) − u ( x ) d v ( x ) v 2 ( x ) d ( cos x 1 + sin x ) = ( 1 + sin x ) d ( cos x ) − cos x d ( 1 + sin x ) ( 1 + sin x ) 2 = − 1 1 + sin x d x 利用公式：dy=f^{'}(x)dx \\ \quad \\ y^{'}=\frac{-\sin x(1+\sin x)-\cos x\cos x}{(1+\sin x)^2}=-\frac{1}{1+\sin x} \\ \quad \\ dy=-\frac{1}{1+\sin x} dx \\ \quad \\ 利用微分的四则运算：d[\frac{u(x)}{v(x)}]=\frac{v(x)du(x)-u(x)dv(x)}{v^2(x)} \\ \quad \\ d(\frac{\cos x}{1+\sin x})=\frac{(1+\sin x)d(\cos x)-\cos xd(1+\sin x)}{(1+\sin x)^2} \\ \quad \\ =-\frac{1}{1+\sin x} dx 利用公式：dy=f′(x)dxy′=(1+sinx)2−sinx(1+sinx)−cosxcosx=−1+sinx1dy=−1+sinx1dx利用微分的四则运算：d[v(x)u(x)]=v2(x)v(x)du(x)−u(x)dv(x)d(1+sinxcosx)=(1+sinx)2(1+sinx)d(cosx)−cosxd(1+sinx)=−1+sinx1dx
练习3：设函数
y
=
y
(
x
)
y=y(x)
y=y(x)由方程
2
x
y
=
x
+
y
2^{xy}=x+y
2xy=x+y所确定，则
d
y
∣
x
=
0
=
dy|_{x=0}=
dy∣x=0=?
解： 令 F ( x , y ) = 2 x y − x − y F x ′ = y 2 x y ln 2 − 1 , F y ′ = x 2 x y ln 2 − 1 d y d x = − F x ′ F y ′ = − y 2 x y ln 2 − 1 x 2 x y ln 2 − 1 d y ∣ x = 0 = d y d x d x ∣ x = 0 = ( ln 2 − 1 ) d x ( x = 0 , y = 1 ) 令F(x,y)=2^{xy}-x-y\\ \quad \\ F^{'}_x=y2^{xy}\ln2-1,\quad F^{'}_y=x2^{xy}\ln2-1\\ \quad \\ \frac{dy}{dx}=-\frac{F^{'}_x}{F^{'}_y}=-\frac{y2^{xy}\ln2-1}{x2^{xy}\ln2-1}\\ \quad \\ dy|_{x=0}=\frac{dy}{dx} dx|_{x=0}=(\ln 2 -1)dx(x=0,y=1) 令F(x,y)=2xy−x−yFx′=y2xyln2−1,Fy′=x2xyln2−1dxdy=−Fy′Fx′=−x2xyln2−1y2xyln2−1dy∣x=0=dxdydx∣x=0=(ln2−1)dx(x=0,y=1)
练习4：设
y
=
(
1
+
sin
x
)
x
，则
d
y
∣
x
=
π
=
y=(1+\sin x)^x，则dy|_{x=\pi}=
y=(1+sinx)x，则dy∣x=π=?
知识点：
对数求导法是将函数等式两边同时取对数，化为隐函数形式，再按照隐函数求导法求导数。
幂指函数 y = f ( x ) g ( x ) y=f(x)^{g(x)} y=f(x)g(x)的求导数，常用下面两种方法：
1、对数求导法
两边取自然对数得 ln y = g ( x ) ln f ( x ) \ln y =g(x)\ln f(x) lny=g(x)lnf(x)可以使用隐函数求导公式 d y d x = − F x ′ F y ′ \frac{dy}{dx}=-\frac{F^{'}_x}{F^{'}_y} dxdy=−Fy′Fx′
2、复合函数求导法
将函数取指数变形为 y = f ( x ) g ( x ) = e g ( x ) ln f ( x ) y=f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)} y=f(x)g(x)=eg(x)lnf(x) ，再按照复合函数求导法即可。
解： 使用对数求导法 ln y = x ln ( 1 + sin x ) 令 F ( x , y ) = ln y − x ln ( 1 + sin x ) 使用隐函数求导得： F x ′ = 0 − ln ( 1 + sin x ) − x . ( 1 + sin x ) − 1 . cos x F y ′ = y − 1 − 0 x = π 带入原式子解得 y = 1 d y d x = − F x ′ F y ′ = − π z 则： d y ∣ x = π = − π d x 也可以使用复合函数求导法 使用对数求导法\\ \quad \\ \ln y=x\ln(1+\sin x) \\ \quad \\令F(x,y)=\ln y - x\ln(1+\sin x) \\ \quad \\使用隐函数求导得：\\ \quad \\ F^{'}_x=0-\ln(1+\sin x)-x.(1+\sin x)^{-1}.\cos x\\ \quad \\ F^{'}_y=y^{-1}-0\\ \quad \\ x=\pi 带入原式子解得y=1\\ \quad \\\frac{dy}{dx}=-\frac{F^{'}_x}{F^{'}_y}=- \pi \\ \quad \\ z 则：dy|_{x=\pi}=-\pi dx \\ \quad \\ 也可以使用复合函数求导法 使用对数求导法lny=xln(1+sinx)令F(x,y)=lny−xln(1+sinx)使用隐函数求导得：Fx′=0−ln(1+sinx)−x.(1+sinx)−1.cosxFy′=y−1−0x=π带入原式子解得y=1dxdy=−Fy′Fx′=−πz则：dy∣x=π=−πdx也可以使用复合函数求导法