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信息安全数学基础（29） x^2 + y^2 = p

article 2024/10/12 7:01:01

前言

方程 x2+y2=p 是一个涉及整数解和素数 p 的二次方程。这个方程在数论和几何中都有重要的意义，特别是在研究圆的整数点和费马大定理的背景下。

一、定义与背景

方程 x2+y2=p 表示一个平面上的圆，其圆心在原点 (0,0)，半径为 p（当 p>0 时）。然而，在这个上下文中，我们更关心的是方程的整数解，即 x 和 y 都是整数。

二、整数解的存在性

当 p 为素数时：
如果 p=2，则方程变为 x2+y2=2，其整数解为 (x,y)=(1,1),(1,−1),(−1,1),(−1,−1)。
如果 p 是形如 4k+1 的素数（其中 k 是整数），则方程有整数解。这是由费马小定理的一个推论得出的，即存在整数 a 和 b 使得 a2+b2=p。
如果 p 是形如 4k+3 的素数，则方程没有非零整数解。这是由模4的性质得出的，即任何形如 4k+3 的素数在模4下都余3，而两个整数的平方和不可能模4余3（只能是0, 1, 或2）。
当 p 不是素数时：
如果 p 是负数，则方程在实数范围内没有解，因为两个实数的平方和不能是负数。
如果 p 是正合数，则方程可能有也可能没有整数解，这取决于 p 的因数分解。例如，x2+y2=50 有整数解 (x,y)=(5,5),(5,−5),(−5,5),(−5,−5),(7,1),(7,−1),(−7,1),(−7,−1) 等，因为50可以分解为 5×10 或 2×25，而这些因数都有整数平方根。

三、几何意义

在几何上，方程 x2+y2=p 描述了一个以原点为中心，半径为 p 的圆（当 p>0 时）。然而，在这个问题中，我们更关心的是这个圆上的整数点，即满足方程的整数对 (x,y)。

四、数论意义

在数论中，方程 x2+y2=p 的整数解与费马大定理（Fermat's Last Theorem）有间接的联系。费马大定理断言，对于任何大于2的整数 n，方程 xn+yn=zn 没有正整数解。虽然 x2+y2=p 并不直接涉及 n>2 的情况，但研究这个方程有助于理解整数解在二次方程中的行为，并为更复杂的数论问题提供启示。