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10.12Python数学基础-矩阵（上）

article 2025/2/1 6:45:23

矩阵

1.矩阵定义

1.1 矩阵的定义

矩阵是由一组数按照矩形排列而成的数表。矩阵通常用大写字母表示，例如 AA、BB 等。矩阵中的每个数称为矩阵的元素或元。

一个 m×n的矩阵 AA 可以表示为：

$A=\begin{pmatrix} a_{1n} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ & & \vdots & \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{pmatrix}$
其中 aij表示矩阵 A中第i行第j列的元素。

1.2 矩阵的维度

矩阵的维度由它的行数和列数决定，记作 m×n，其中 m是行数，n 是列数，m不一定与n相等。例如，一个 3×2 的矩阵有 3 行和 2 列。
$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6\end{pmatrix}$

1.3 矩阵和行列式的区别

	矩阵	行列式
符号	()或[]	\| \|
形状	方阵或非方阵	方阵
本质	数表	数
属性	A	\|A\|是A诸多属性中的一种

2 同型矩阵

矩阵相等

如果A 和 B 的维度相同，即 A 和 B 都是 m×n矩阵，并且对于所有 i 和 j，都有 aij=bij，那么我们称矩阵 A 和 B 相等，记作 A=B。

矩阵相等的条件

维度相同：两个矩阵的行数和列数必须相同。
对应元素相等：所有对应位置的元素必须相等。

例子

考虑以下两个矩阵：
$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}$
这两个矩阵的维度相同（都是 2×2 矩阵），并且所有对应位置的元素都相等，因此 A 和 B 相等，即 A=B。

再考虑以下两个矩阵：
$C=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}, D=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5\end{pmatrix}$
这两个矩阵的维度相同（都是 2×2 矩阵），但 C 和 D 在第 2 行第 2 列的元素不相等（4≠5），因此 C 和 D 不相等

3 特殊类型的矩阵

1.3.1 方阵

一个 n×n 的方阵 A 可以表示为：矩阵的行数=列数
$A=\begin{pmatrix} a_{1n} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ & & \vdots & \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{pmatrix}$
其中 aij 表示矩阵 A 中第 i 行第 j 列的元素。

方阵有主对角线和副对角线，非方阵没有主对角线和副对角线。

1.3.2 特殊的方阵

1.3.2.1 单位矩阵

主对角线上的元素都是 1，其余元素都是 0 的方阵，记作 I 或 E。例如，3 阶单位矩阵为：
$E=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

1.3.2.2 对角矩阵

主对角线上的元素可以是任意值，其余元素都是 0 的方阵。例如：
$A=\begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33}\end{pmatrix}$

1.3.2.3 上三角矩阵

主对角线及其上方的元素可以是任意值，主对角线下方的元素都是 0 的方阵。例如：
$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33}\end{pmatrix}$

1.3.2.4 下三角矩阵

主对角线及其下方的元素可以是任意值，主对角线上方的元素都是 0 的方阵。例如：
$A=\begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}$

1.3.2 零矩阵

一个 m×n的零矩阵 O 可以表示为：
$A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & \ldots & 0 \\ & & \vdots & \\ 0 & 0 & \ldots & 0 \end{pmatrix}$
其中所有元素都是零。零矩阵的维度由它的行数和列数决定，记作 m×n。

思考：两个零矩阵相等？

错误，两个同型的零矩阵相等。

1.3.3 行矩阵

行矩阵（Row Matrix），也称为行向量（Row Vector），是线性代数中的一种特殊矩阵，它只有一行，但可以有多列。具体来说，一个

1×n 的矩阵称为行矩阵或行向量。行矩阵的维度是 1×n，其中 n 是列数。

一个 1×n的行矩阵 R 可以表示为：
$R=\begin{pmatrix} r_{11} & r_{12} & \ldots & r_{1n} \end{pmatrix}$
其中 r1j 表示行矩阵R 中第 1 行第 j 列的元素。

1.3.4 列矩阵

列矩阵（Column Matrix），也称为列向量（Column Vector），是线性代数中的一种特殊矩阵，它只有一列，但可以有多行。具体来

说，一个 m×1 的矩阵称为列矩阵或列向量。列矩阵的维度是 m×1，其中 m 是行数。

一个 m×1 的列矩阵 C 可以表示为：
$C=\begin{pmatrix} r_{11} \\ r_{12} \\ \vdots \\ r_{1n} \end{pmatrix}$
其中 ci1 表示列矩阵 C 中第 i 行第 1 列的元素。

4.矩阵的加法

矩阵的加法是指两个相同维度的矩阵对应位置上的元素相加，得到一个新的矩阵。具体来说，如果两个矩阵 A 和 B 的维度相同，即都是

m×n矩阵，那么它们的和 C=A+B也是一个 m×n 矩阵，其中 C 的每个元素 cij 是 A 和 B 对应位置元素的和，即 cij=aij+bij。

设矩阵 AA 和 BB 分别为：
$A=\begin{pmatrix} a_{1n} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ & & \vdots & \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} b_{1n} & b_{12} & \ldots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2n} \\ & & \vdots & \\ b_{m1} & b_{m2} & \ldots & b_{mn} \end{pmatrix}$
如果 A 和 B 的维度相同，即 A 和 B 都是 m×n 矩阵，那么它们的和 C=A+B 也是一个 m×n 矩阵，即：
$C=\begin{pmatrix} c_{1n} & c_{12} & \ldots & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & \ldots & c_{2n} \\ & & \vdots & \\ c_{m1} & c_{m2} & \ldots & c_{mn} \end{pmatrix}$
其中：
$c_{ij}=a_{ij} + b_{ij}$
矩阵加法的性质

交换律：矩阵加法满足交换律，即 A+B=B+A。
结合律：矩阵加法满足结合律，即 (A+B)+C=A+(B+C)。
零矩阵：零矩阵 O 是矩阵加法的单位元，即对于任何矩阵 A，有 A+O=A。
负矩阵：对于任何矩阵 A，存在一个负矩阵 −A，使得 A+(−A)=O。

例子

考虑以下两个矩阵：
$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8\end{pmatrix}$
这两个矩阵的维度相同（都是 2×2 矩阵），因此可以进行加法运算：
$B=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 + 5 & 2 + 6 \\ 3 + 7 & 4 + 8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12\end{pmatrix}$

5.矩阵的减法

矩阵的减法是指两个相同维度的矩阵对应位置上的元素相减，得到一个新的矩阵。具体来说，如果两个矩阵 A 和 B 的维度相同，即都是

m×n 矩阵，那么它们的差 C=A−B 也是一个 m×n 矩阵，其中 C 的每个元素 cij是 A 和 B 对应位置元素的差，即
$c_{ij}=a_{ij}−b_{ij}$
设矩阵 AA 和 BB 分别为：
$A=\begin{pmatrix} a_{1n} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ & & \vdots & \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} b_{1n} & b_{12} & \ldots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2n} \\ & & \vdots & \\ b_{m1} & b_{m2} & \ldots & b_{mn} \end{pmatrix}$
如果 A和 B 的维度相同，即 A 和 B都是 m×n 矩阵，那么它们的差 C=A−B也是一个 m×n矩阵，其中：
$C=\begin{pmatrix} c_{1n} & c_{12} & \ldots & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & \ldots & c_{2n} \\ & & \vdots & \\ c_{m1} & c_{m2} & \ldots & c_{mn} \end{pmatrix}$
其中：
$c_{ij}=a_{ij} - b_{ij}$
矩阵减法的性质

反交换律：矩阵减法不满足交换律，即 A − B ≠ B − A。
结合律：矩阵减法满足结合律，即 (A − B) − C = A − (B + C)。
零矩阵：零矩阵 O 在矩阵减法中扮演着类似于数字零的角色，即对于任何矩阵 A，有 A − O = A。

例子

1.考虑以下两个矩阵：
$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8\end{pmatrix}$
这两个矩阵的维度相同（都是 2×2 矩阵），因此可以进行减法运算：
$B=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 - 5 & 2 - 6 \\ 3 - 7 & 4 - 8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -4 & -4 \\ -4 & -4\end{pmatrix}$
2.考虑以下两个矩阵：
$A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 1 & 5 & -1 \\ 0 & 4 & 2\end{pmatrix}$
已知 A + X = B，求X

解：
$=\begin{pmatrix} 1 & 5 & -1 \\ 0 & 4 & 2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1-2 & 5-1 & -1 - 0 \\ 0-3 & 4-2 & 2-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 4 & -1 \\ -3 & 2 & 1\end{pmatrix}$

6.矩阵的数乘

矩阵的数乘（Scalar Multiplication）是指一个矩阵与一个标量（即一个实数或复数）相乘，结果是一个新的矩阵。具体来说，如果A 是

一个 m×n 的矩阵，k 是一个标量，那么它们的数乘 kA 也是一个 m×n 的矩阵，其中 kA 的每个元素是 A 对应位置元素与标量 k 的乘积。

设矩阵 A 为：
$A=\begin{pmatrix} a_{1n} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ & & \vdots & \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{pmatrix}$
如果 k 是一个标量，那么矩阵A 与标量 k 的数乘 kA 是一个 m×n 的矩阵，即：
$kA=\begin{pmatrix} ka_{1n} & ka_{12} & \ldots & ka_{1n} \\ ka_{21} & ka_{22} & \ldots & ka_{2n} \\ & & \vdots & \\ ka_{m1} & ka_{m2} & \ldots & ka_{mn} \end{pmatrix}$
其中
$kA)_{ij}=k⋅a_{ij}$
矩阵提公因子：矩阵的所有元素均有公因子k，则k向外提一次。

行列式提公因子：行列式的某一行有公因子k，则k向外提一次。

矩阵数乘的性质

结合律：矩阵数乘满足结合律，即对于任何标量 k 和 l，以及任何矩阵 A，有 (kl)A = k(lA)=l(kA)。
分配律：矩阵数乘满足分配律，即对于任何标量 k 和 l，以及任何矩阵 A，有 (k+l)A = kA + lA。
标量乘法与矩阵加法的分配律：对于任何标量 k，以及任何矩阵 A 和 B，有 k(A+B) = kA + kB。
单位标量：标量 1 是矩阵数乘的单位元，即对于任何矩阵 A，有 1A=A。
零标量：标量 0 是矩阵数乘的零元，即对于任何矩阵 A，有 0A=O，其中 O 是零矩阵。

例子

1.考虑以下矩阵：
$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}$
这是一个 2×2 的矩阵。我们计算 2A：
$2A=2⋅\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1⋅2 & 2⋅2 \\ 3⋅2 & 4⋅2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8\end{pmatrix}$
2.有以下矩阵：
$A=\begin{pmatrix} x & 0 \\ 6 & y\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ z & -3\end{pmatrix},C=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 5\end{pmatrix}$
已知：A + 2B = C，求x、y、z的值

解：

A + 2B = C带入矩阵为：
$\begin{pmatrix} x & 0 \\ 6 & y\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ z & -3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 5\end{pmatrix}$
即：
$,\\ \begin{pmatrix} x & 0 \\ 6 & y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2z & -6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 5\end{pmatrix}$
得出方程：
$\begin{cases}x+4=0\\ 6+2z=-1\\ y-6=5\end{cases}$
得出：x = -4，y=11，z=-7/2

7.矩阵的乘法

矩阵的乘法是线性代数中的一个基本运算，它将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。

矩阵乘法的条件

两个矩阵A 和 B 能够相乘的条件是：矩阵 A 的列数必须等于矩阵 B 的行数。具体来说，如果矩阵 A 是 m×n 的矩阵（即 m

行 n 列），矩阵 B 是 n×p 的矩阵（即 n 行 p 列），那么它们可以相乘，并且乘积矩阵 C 将是 m×p 的矩阵。即乘积矩阵C的行数等于矩

阵A的行数，矩阵C的列数等于矩阵B的列数(中间相等，取两端)。

矩阵乘法的定义

设 A 是一个 m×n 的矩阵，B 是一个 n×p 的矩阵，那么它们的乘积 C=A×B 是一个 m×p 的矩阵，其中 C 的第 i 行

第 j 列的元素 cij 定义为：
$c_{ij}=\sum _{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$
其中 aik 是矩阵 A 的第i行第 k 列的元素，bk 是矩阵 B 的第 k 行第j 列的元素。

矩阵乘法的性质

结合律：对于任意三个矩阵 A、B 和 C，如果它们的维度使得乘法有意义，那么 (A×B)×C=A×(B×C)。
分配律：对于任意三个矩阵 A、B 和 C，如果它们的维度使得乘法有意义，那么 A×(B+C)=A×B+A×C 和 (A+B)×C=A×C+B×C。
单位矩阵：对于任意矩阵 A，如果存在一个单位矩阵 E（维度与A 相匹配），那么 A×E=E×A=A，注意两个E的维度不一定一样。

矩阵乘法不满足的性质

交换律：AXB一般不等于BXA，如矩阵A维度2x2，B维度2x3，AxB的维度=2x3，BxA则不能相乘，因为B的列数不等于A的行数。如果AXB等于BXA，则矩阵A和B是同阶的方阵，并称A和B是可交换的矩阵。
消去律：由AXB=AXC，不能推导出B=C
由AxB=O，不能推出A=O或B=O

例子

1.假设有两个矩阵 A 和 B：
$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10\\11 & 12 \end{pmatrix}$
矩阵A的维度为2X3，B的维度为3X2，因此它们可以相乘，得到C的维度为2X2。乘积矩阵C 的元素计算如下：
$C_{11} = 1\times7 + 2\times9+3\times11=51\\ C_{12} = 1\times8 + 2\times10+3\times12=64\\ C_{21} = 4\times7 + 5\times9+6\times11=139\\ C_{22} = 4\times8 + 5\times10+6\times12=154\\$
因此，乘积矩阵 C 为：
$C=\begin{pmatrix} 51 & 64 \\ 139 & 154\end{pmatrix}$
2.假设有两个矩阵 A 和 B：
$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 3\end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 4 & 5\end{pmatrix}$
求AxB和AxC，并思考是否满足消去律
$A\times B=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\\ A\times C=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$
从以上结果来看，AxB和AxC的结果都是矩阵O，但是B和C并不相等。

同时，AxB=O，但是A和B都不等于O。

练习：

1.由如下两个矩阵A和B：
$A=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 1\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3\\-1 & 1 \end{pmatrix}$
求AXB和BXA

解：
$A\times B=\begin{pmatrix} -3 & 3 \\ 2 & 7\end{pmatrix}$

$\times A=\begin{pmatrix} 5 & 1 & 4 \\ 9 & 0 & 3 \\ 4 & -1 & -1\end{pmatrix}$

2.计算：

2A+BxA=?

(A+B)x(A+B)=?

8.矩阵的幂

矩阵的幂是指将一个矩阵自身相乘多次的操作。具体来说，如果 A 是一个 n×n 的方阵，那么 A 的 k 次幂 A^k 定义为 A 自身相乘 k 次的结

果。

定义

设 A 是一个 n×n 的方阵，那么 A 的 k 次幂 A^k 定义为：
$A^{k}=\dfrac{A\cdot A\cdot A \ldots \cdot A}{k个}$
其中 k 是一个正整数。

例子

假设有一个矩阵 A：
$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}$
我们计算 A^2 和 A^3：

计算 A^2
$A^{2}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}$
计算每个元素：
$A^{2}=\begin{pmatrix}1⋅1+2⋅3 & 1⋅2+2⋅4\\3⋅1+4⋅3& 3⋅2+4⋅4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7 & 10\\15 & 22\end{pmatrix}$

计算 A3A3
$A^{3}=A^{2}×A=\begin{pmatrix}7&10\\15&22\end{pmatrix}×\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$
计算每个元素：
$A^{3}=\begin{pmatrix}7⋅1+10⋅3&7⋅2+10⋅4\\15⋅1+22⋅3&15⋅2+22⋅4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}37&54\\81&118\end{pmatrix}$
性质

矩阵幂具有以下性质：

结合律：对于任意正整数 k 和 l，
$A^{k})^{l}=A^{kl}$
分配律：对于任意正整数 k 和 l，
$(A+B)^{k}\neq A^{k}+B^{k}$
（除非 AA 和 BB 是可交换的）例如A+B的平方：
$(A+B)^{2}= A^{2} + A\times B + B\times A +B^{2}$
如果A和B可交换，则AB=BA，所以
$A+B)^{2}= A^{2} + 2AB+B^{2}$
如果A和B不可交换，则AB与BA不等，则上述公式不能合并为2AB。
单位矩阵：对于任意方阵A，A^0=E，其中 E 是单位矩阵。