DS树与二叉树(8)

前言

  脱离了线性表后，我们又迎来了新的篇
  正文开始！

一、树

树的概念

 树是一种非线性的数据结构，它是由n(n>=0)个有限节点组成一个具有层次关系的集合，然而树在实践中价值不大，但是二叉树实践价值比较大(这种集合称为树的理由，是它是根朝上，而叶朝下，看起来很像树)

• 有一个特殊的节点，称为根节点，根节点没有前驱节点
• 除根节点外，其余节点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每一个集合Ti(1<=i<=m)又是一颗结构与树类似的子树。每颗子树的根节点有且只有一个前驱，可有0个或多个后继

因此，树是递归定义的，既然从定义开始就富有递归色彩，你可以想象后期我们做题的时候，不会少使用递归的

• 树是递归定义，与此同时需要注意。在树形结构中子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

树的相关概念

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
• 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点
• 非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点
• 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
• 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
• 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
• 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
• 树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
• 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
• 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
• 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
• 森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

不用全记，对标黑部分有个印象即可

树的存储

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既要保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法

其中，孩子兄弟表示法如下：

typedef int DataType;
struct Node
{
 struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
 struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
 DataType _data; // 结点中的数据域
};

树的实际运用

 文件系统通常使用树来组织文件和文件夹之间的关系，比如Linux目录结构

二、二叉树

二叉树的概念

 二叉树（Binary Tree）是n（n>=0）个数据元素的有限集合，该集合可以为空（空二叉树），也可以由一个称为根（root）的元素及两个不相交的，被分别称为左子树和右子树的二叉树组成.

可以看出：

1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

所以对于任意的二叉树都是通过下列几种情况组成的(空树的情况最容易忘记)：

现实中的二叉树

 我们学得二叉树倒转一下就是现实中的二叉树

特殊的二叉树

 一、满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的节点数都达到最大值，则这个二叉树为满二叉树。换言之一个二叉树的层次为K，且节点总数是2^K - 1，则它就是满二叉树

 二、完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树

满二叉树是完全二叉树的充分不必要条件
像这种就不是完全二叉树，原因是最后一层从左到右不连续

二叉树的性质

• 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第n层上最多有2^(n-1)个结点(满二叉树情况)
• 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1(满二叉树情况)
• 对任何一棵二叉树(非空), 如果度为0其叶结点个数为n0, 度为2的分支结点个数为n2,则有 n0＝n2 ＋1

• 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h= log (n+1). (ps：log (n+1)是log以2
  为底，n+1为对数)
  
• 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对
  于序号为i的结点有：

1. 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
2. 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子
3. 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子
   

二叉树的存储结构

 二叉树一般可以使用两种结构存储，一种是顺序结构，一种链式结构

顺序存储

 顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

我们又出现了物理和逻辑上的分裂，就像我们前面链表讲的一样，虽然逻辑上连续，但在物理上所占内存是不连续的

链式结构

 二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链

typedef int BTDataType;

// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{
 	struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
 	struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
	 BTDataType _data; // 当前节点值域
}

// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{
 	struct BinTreeNode* _pParent; // 指向当前节点的双亲
 	struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
 	struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
 	BTDataType _data; // 当前节点值域
}；

二叉树的意义

 首先你应该明白，一般使用数组只适合完全二叉树，非完全二叉树就不适合数组结构存储，普通二叉树只适合链式结构存储，其实，我们后面的实际运用其实大部分就是堆排序和搜索用，而不是存储！！！

原因在于：

1. 首先我们要知道，二叉树拥有其特殊的逻辑结构，不同于其他数据结构适合堆数据的增删查改，因为在于开辟的空间消耗大，逻辑也更加复杂，如果使用如此复杂的结构去存储数据，不是没有多少价值的，这样子不如一开始就采用顺序表进行存储数据。同时一般而言，二叉树的结构是递归式，用非递归实现更加麻烦
2. 普通二叉树中可能存储元素密度很低，连续存储的结构会造成大量的空间浪费

三、二叉树的相关习题

一、

二、

三、

四、

五、

总结

  应该第一次见的话，压力还蛮大的，别急，我们继续学习！