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80.【C语言】数据结构之时间复杂度

article 2024/10/19 19:44:26

1.数据结构的定义

2.算法的定义

3.算法的效率

1.衡量一个算法的好坏的方法

例题:计算以下代码的循环次数

2.大O的渐进表示法

练习1:求下列代码的时间复杂度

练习2:求下列代码的时间复杂度

练习3:求下列代码的时间复杂度

练习4:求下列代码的时间复杂度

4.总结:计算时间复杂度的方法

5.时间复杂度的排名

1.数据结构的定义

参见63.【C语言】再议结构体(上)

也可以理解为数据在内存中的存储形式(管理数据)

比如说写通讯录可以用静态数组,动态数组和链表形式存储

2.算法的定义

简单的定义:一系列的计算步骤，用来将输入数据转化成输出结果

3.算法的效率

1.衡量一个算法的好坏的方法

两个方面衡量:时间效率(计算时间分复杂度)和空间效率(空间复杂度)

比较时间要在同一个环境下进行(为了控制变量,但在实际情况下难以控制)

-->比较运行次数(和环境无关)

运行次数举例:对于同一组数据,快速排序和冒泡排序的运行次数不同

例题:计算以下代码的循环次数

void Func1(int N)
{
	int count = 0;
	for (int i = 0; i < N ; i++)
	{
		for (int j = 0; j < N ; j++)
		{
			count++;
		}
	}

	for (int k = 0; k < 2 * N ; k++)
	{
		count++;
	}

	int M = 10;
	while (M--)
	{
		count++;
	}

	printf("%d\n", count);
}

定义一个函数F(N),其值为循环次数

可得: $F(N)=N^2+2N+10$

N=10	F(N)=130
N=100	F(N)=10210
N=1000	F(N)=1002010

但实际中计算时间复杂度时,其实并不一定要计算精确的执行次数,而只需要知道大概的执行次数,那么这里使用大O的渐进表示法

比如可以计算量级(N=10的次方),当N较大时(可理解为 $n \to \infty$ ),影响F(N)的值主要为 $N^2$ ,因此 $F(N) \approx N^2$

对比 $N^2$ 和 $N^2+2N+10$ 的两张图

2.大O的渐进表示法

大O符号:用于描述函数渐近行为的数学符号,可以用来衡量时间复杂度和空间复杂度

在上述函数中,Func1的时间复杂度为 $O(N^2)$ ,其去掉了对结果影响不大的地方

练习1:求下列代码的时间复杂度

void Func2(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
	{
		count++;
	}

	int M = 10;
	while (M--)
	{
		count++;
	}

	printf("%d\n", count);
}

运行次数n==2N+10

1.取最高阶的式子(去常数)

当 $n \to \infty$ 时,+10对结果影响不大,因此 $2N+10 \approx 2N$

2.去系数

因为 $n \to \infty$ 时,N前面的系数对结果影响也不大( $\lim_{n \to \infty} 2N = \lim_{n \to \infty} N = \infty$ ),因此时间复杂度为 $O(N)$

练习2:求下列代码的时间复杂度

void Func3(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 100; ++ k)
	{
		count++;
	}
	printf("%d\n", count);
}

是 $O(100)$ 吗?不是,为 $O(1)$ ,这里的1不是次数,而是指常数次

练习3:求下列代码的时间复杂度

#include <stdio.h>
const char* strchr( const char* str, char character)
{
	while (*str)
	{
		if (*str == character)
			return str;
		str++;
	}
	return str;
}

int main()
{
	char character;
	char str[100] = { 0 };
	scanf("%c", &character);
	scanf("%s", str); // 数组名就是数组的首元素地址
	const char* s_str=strchr(str, character);
	printf("%s", s_str);
}

发现:运算次数和字符串的长度以及和要找的字符位置有关

即该题的时间复杂度存在最好,平均和最坏情况:

最坏情况:任意输入规模的最大运行次数(上界)

平均情况:任意输入规模的期望运行次数

最好情况:任意输入规模的最小运行次数(下界)

按预期管理来看,应该取最坏的情况,即 $O(N)$ ,N为输入字符串的长度

练习4:求下列代码的时间复杂度

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <stdio.h>
int main()
{
	int n = 0;
	int arr[100] = { 0 };
	int tmp = 0;
 
	//输入元素
	a:printf("输入数组元素个数：");
	scanf("%d", &n);
	if (n > 100 || n < 1)
	{
		printf("输入的元素个数超出范围或无效！请重新输入！\n");
		goto a;
	}
	printf("输入数组元素：");
	for (int k = 0; k < n; k++)
	{
		scanf("%d", &arr[k]);
	}
	//冒泡排序
	for (int i = 1; i <= n - 1; i++)//趟数
	{
		int flag = 1;//每趟排序时置为1
		for (int j = 0; j <= n - i - 1; j++)//步数
		{
			if (arr[j] > arr[j + 1])
			{
				tmp = arr[j];
				arr[j] = arr[j + 1];
				arr[j + 1] = tmp;
				flag = 0;//发生交换flag置0
			}
		}
		if (1 == flag)
		{
			break;//未发生交换则退出循环
		}
	}
 
	//打印结果
	for (int q = 0; q < n; q++)
	{
		printf("%d ", arr[q]);
	}
	return 0;
}

同样的,在冒泡排序(参见42.【C语言】冒泡排序)中,运算次数也有最好和最坏的情况

显然此代码是按升序排列

最好:给的数组就是按升序排列的(如0 1 2 3 4 5 6 7 8 9)

尽管j的for循环中的if判断的交换没有执行(相当于空转),但由于flag一直为0,因此到j为8时才能退出循环

因此运行次数n==N-1-->舍去常数后-->N

因此最好: $O(N)$

最坏:给的数组就是按降序排列的(如9 8 7 6 5 4 3 2 1 0)

因此因此运行次数n==(N-1)+(N-2)+(N-3)+...+(1)==(1+N-1)*(N-1)/2== $(N^2-N)/2$