数据结构-复杂度

1.数据结构

数据结构是计算机存储、组织数据的方式，指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。没有一种单一的数据结构对所有用途都有用，所以我们要学各式各样的数据结构。

不仅能存储数据，还要能够管理数据。

1.1算法

算法就是定义良好的计算过程，他取一个或一组的值为输入，并产生出一个或一组值作为输出。

那么怎么样的算法算是好的呢？好算法是用什么来衡量的？

我们看看下面的代码：

#include<stdio.h>
int main()
{
	int t1 = clock();//表示计算代码当前所用时间
	for (int i = 0; i < 100000; i++)
	{
		for (int j = 1; j < 10000; j++)
		{
			int a = 1;
		}
	}
	int t2 = clock();
	printf("%d\n", t2 - t1);
	return 0;
}

上面这个代码运行结果是不同的，这和电脑的配置是相关的。所以看算法的执行时间是不行的。

2.算法效率

那么如何衡量一个算法的好坏呢？
我们来观察一个案例：
https://leetcode.cn/problems/rotate-array/description/

void rotate(int* nums, int numsSize, int k) {
 while(k--)//k有几次轮转几次。
 {
 int end = nums[numsSize-1];//将最后一个元素拿出来
 for(int i = numsSize - 1;i > 0 ;i--)
 {
 nums[i] = nums[i-1];//将前一个元素放到后一个
 }
 nums[0] = end;//将拿出来的最后一个元素，放到前面。
 }
}

解释：
输入：num = [1，2，3，4，5，6，7]，k = 3
输出：[5，6，7，1，2，3，4]
向后轮转1步：[7，1，2，3，4，5，6]
向后轮转2步：[6，7，1，2，3，4，5]
向后轮转3步：[5，6，7，1，2，3，4]

思路：循环k次将数组所有元素向后移动一位

点击执行可以通过，然而点击提交却无法通过，那该如何衡量其好与坏呢？

2.1复杂度的概念

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间（内存）资源。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到；额很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

3.时间复杂度

定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数式T（N），N是影响时间复杂度的输入条件，它定量描述了该算法的运行时间。时间复杂度是衡量程序的时间效率，那么为什么不去计算程序的运行时间呢？

1.因为程序运行时间和编译环境和运行机器的配置都有关系，比如同一个算法程序，用一个老编译器进行编译和新的编译器编译，在同样机器下运行时间不同。
~
2.同一个算法程序，用一个老底配置和高配置机器，运行时间也不同。
~
3并且时间只能程序写好后测试，不能写程序前通过理论思想计算评估。

这个T（N）函数式计算了程序的执行次数。那么我们通过程序代码或者理论思想计算出程序的执行次数的函数式T（N），假设每句指令执行时间基本一样（实际中有差别，但是微乎其微），那么执行次数和运行时间就是等比正相关，这样也脱离了具体的编译运行环境。执行次数就可以代表程序时间效率的优劣。比如解决一个问题的算法a程序T（N），算法b程序T（N）= N^2，那么算法a的效率一定优于算法b。

影响时间复杂度的条件有：每条语句的执行时间*每条语句的执行次数

每条语句的执行时间（无法给出准确数据；给出结论：每条语句的执行时间即使有差别但是微乎其微，可以忽略不计，认为每条语句的执行时间是相同的。）

案例：
请计算⼀下Func1中++count语句总共执⾏了多少
次？

void Func1(int N) 
{ 
 int count = 0; 
 for (int i = 0; i < N ; ++ i) 
 { 
 for (int j = 0; j < N ; ++ j) 
 { 
 ++count; 
 } 
 } 
 for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k) 
 { 
 ++count; 
 } 
 int M = 10; 
 while (M--) 
 { 
 ++count; 
 } 
}

根据代码中的执行的基本操作次数：

T (N) = N + 2*N + 10

可以看出对结果影响最大的是N^2。

时间复杂度只能用来表示输入条件对事件的影响趋势

实际中我们计算时间复杂度时，计算的也不是程序的精确的执行次数，精确执行次数计算起来还是很麻烦的（不同的一句程序代码，编译出的指令条数是不一样的），计算出精确的执行次数意义也不大，因为我们计算时间复杂度只是想比较算法程序的增长量级，也就是当N不断变大时T（N）的差别，上面我们已经看到了当N不断变大时常数和低阶项对结果的影响很小，所以我们只需要计算程序能代表增长量级的大概执行次数，复杂度的表示通常使用大O的渐进表示法

3.1大O渐进表示法

大O符号：是用于描述函数渐进行为的数学符号

推导大O阶规则:
1.时间复杂度函数式T（N）中，只保留最高阶项，去掉那些低阶项，因为当N不断变大时，低阶项对结果影响越来越小，当N无穷大时，就可以忽略不计了
~
2.如果最高阶项存在且不是1，则去除这个项目的常熟系数，因为当N不断变大，这个系数对结果影响越来越小，当N无穷大时，就可以忽略不计了。
~
3.T（N）中如果没有N相关的项目，只有常数项，用常数1取代所有加法常数。

3.2时间复杂度计算示例

3.2.1 示例1

void Func2(int N) 
{ 
 int count = 0; 
 for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k) 
 { 
 ++count; 
 } 
 int M = 10; 
 while (M--) 
 { 
 ++count; 
 } 
 printf("%d\n", count); 
}

Func2执行的基本操作次数：
T（N）= 2*N + 10
根据推导规则第3条得出：
复杂度为：O（N）

数据结构中只考虑变化对时间复杂度的影响。

3.2.2 示例2

void Func3(int N, int M) 
{ 
 int count = 0; 
 for (int k = 0; k < M; ++ k) 
 { 
 ++count; 
 } 
 for (int k = 0; k < N ; ++ 
k) 
 { 
 ++count; 
 } 
 printf("%d\n", count); 
}

Func3执行的基本操作次数：
T（N） = M + N
有两个可变条件。需要进一步讨论：
M >> N : O(M)
N >> M : O(N)
N == M : O(M)或者O(N)

3.2.3 示例3

void Func4(int N) 
{ 
 int count = 0; 
 for (int k = 0; k < 100; ++ k) 
 { 
 ++count; 
 } 
 printf("%d\n", count); 
}

T（N）= 100
根据推导规则第1条得出
时间复杂度为：O（1）
这里的1不是执行一次，而是表示常数

无论常数是多少，常数对时间的增长趋势没有任何影响

3.2.4 示例4

const char * strchr ( const char 
* str, int character)
{
 const char* p_begin = s;

 while (*p_begin != character)

 {

 if (*p_begin == '\0')

 return NULL;

 p_begin++;
}

 return p_begin;

}

假设字符串长度为n：
查找的是前面的字符：查找常数次
查找的是后面的字符：查找n次
查找的是中间的字符：查找n/2，就是n次。

对于当前的时间复杂度来说，我们要划分为不同的场景：

查找的是前面的字符，时间更少，那么我们的时间复杂度就更优一些，就称之为最好的情况。所以上面的三种情况可以被分为：最好情况、最坏情况和平均情况。

因此时间复杂度可以写为：
最好情况：O（1）
最坏情况：O（N）
平均情况：O（N）

总结
通过上面我们会发现，有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况
最坏情况：任意输入规模的最大运行次数（上界）
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最好情况：任意输入规模的最小运行次数（下界）

大O的渐进表示法在实际中一般情况关注的是算法的上界，也就是最坏运行情况。

3.2.5 示例5：

void BubbleSort(int* a, int n) 
{ 
 assert(a); 
 for (size_t end = n; end > 0; --end) 
 { 
 int exchange = 0; 
 for (size_t i = 1; i < end; ++i) 
 { 
 if (a[i-1] > a[i]) 
 { 
 Swap(&a[i-1], &a[i]); 
 exchange = 1; 
 } 
 } 
 if (exchange == 0) 
 break; 
 } 
}

上面的代码为冒泡排序。


分析：
（1）若数组有序，则：
T（N）= N
（2）若数组有序且为降序，则：
T（N）=N*(N+1)/2

当数组有序的时候 只需要比较n-1
即冒泡排序时间复杂度最好的情况为O（n）
最差的情况，时间复杂度为：O（n^2）
只要有一个是乱序，就是最差的情况

3.2.6 示例6

void func5(int n)
{
 int cnt = 1;
 while (cnt < n)
 {
 cnt *= 2;
 }
}

当n=2时，执行次数为1
当n=4时，执行次数为2
当n=16时，执行次数为4
假设执⾏次数为x ，则2^x = n
因此执⾏次数：x = log n

因此：时间复杂度最差情况为：O（log2n）

注意：

注意log2n、logn、lgn的表示
当n接近无穷大时，底数的大小对结果影响不大。因此，一般情况下不管底数是多少都可以省略不写，即可以表示为logn

3.2.7 示例7

long long Fac(size_t N) 
{ 
 if(0 == N) 
 return 1; 
 return Fac(N-1)*N; 
}

调用一次Fac函数的时间复杂度为O（1）
而在Fac函数中，存在n次递归函数调用Fac函数
因此：
时间复杂度为：O（n）

4.空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中因为算法的需要额外临时开辟的空间。

空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为常规情况每个对象大小差异不会很大，所以空间复杂度算的是变量的个数。

空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

注意：函数运行时所需要的栈空间（存储参数、局部变量、一些寄存器信息等）在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显示申请的额外空间来确定。

4.1.1 示例1

void BubbleSort(int* a, int n) 
{ 
 assert(a); 
 for (size_t end = n; end > 0; --end) 
 { 
 int exchange = 0; 
 for (size_t i = 1; i < end; ++i) 
 { 
 if (a[i-1] > a[i]) 
 { 
 Swap(&a[i-1], &a[i]); 
 exchange = 1; 
 } 
 } 
 if (exchange == 0) 
 break; 
 } 
}

函数栈帧在编译期间已经确定好了，只需要关注函数在运行时额外申请的空间。

BubbleSort额外申请的空间有exchange等有限个局部变量，使用了常数个额外空间

在函数体里面是运行时确定申请空间。

因此空间复杂度为O（1）

4.1.2 示例2

long long Fac(size_t N) 
{ 
 if(N == 0) 
 return 1; 
 
 return Fac(N-1)*N; 
}

Fac递归递归调用了N次，额外开辟了N个函数栈帧，每个栈帧使用了常数个空间

因此空间复杂度为：O（N）

时间复杂度和空间复杂度存在部分相同，因为，时间复杂度求解的是执行次数，空间复杂度申请的是空间。

5.常见复杂度对比

从左到右复杂度越优。

6.复杂度算法题

6.1旋转数组

https://leetcode.cn/problems/rotate-array/description/

思路一：

时间复杂度O（n^2）
循环k次将数组所有元素向后移动一位（不通过）

void rotate(int* nums, int numsSize, int k) {
 while(k--)
 {
 int end = nums[numsSize-1];
 for(int i = numsSize - 1;i > 0 ;i--)
 {
 nums[i] = nums[i-1];
 }
 nums[0] = end;
 }
}

时间复杂度为O（n^2）
空间复杂度为O（1）

该代码超出时间复杂度

思路二：

空间复杂度O（n）
申请新数组空间，先将后k个数据放到新数组中，在将剩下的数据挪到新数组中

void rotate(int* nums, int numsSize, int k) 
{
 int newArr[numsSize];
 for (int i = 0; i < numsSize; ++i) 
 {
 newArr[(i + k) % numsSize] = nums[i];
 }
 for (int i = 0; i < numsSize; ++i) 
 {
 nums[i] = newArr[i];
 }
}

时间复杂度 O（N）
空间复杂度 O（N）

以空间换时间的方式来提高算法性能

思路三：

空间复杂度O(1)

• 前n-k个逆置：4 3 2 1 5 6 7

• 后k个逆置：4 3 2 1 7 6 5

• 整体逆置：5 6 7 1 2 3 4

void reverse(int* nums,int begin,int end)
{
 while(begin<end){
 int tmp = nums[begin];
 nums[begin] = nums[end];
 nums[end] = tmp;
 begin++;
 end--;
 }
}
void rotate(int* nums, int numsSize, int k)
{
 k = k%numsSize;
 reverse(nums,0,numsSize-k-1);
 reverse(nums,numsSize-k,numsSize-1);
 reverse(nums,0,numsSize-1);
}