线性代数基础02
目录
1.向量
1.1向量的定义
1.2向量的运算
1.2.1向量加法
1.2.2向量数乘
1.2.3向量点积
1.3矩阵的特征值和特征向量
1.4向量的模
1.4.1向量的模的定义
1.4.2向量的模的几何解释
1.4.3向量的模的性质
1.5向量的内积
1.5.1向量的内积的定义
1.5.2向量的内积的几何解释
1.5.3向量的内积的性质
1.向量
1.1向量的定义
向量可以用多种方式定义，以下是几种常见的定义：
-
几何定义：向量是一个有方向和大小的量，通常用箭头表示。向量的起点称为原点，终点称为向量的端点。
-
代数定义：向量是一个有序的数组，通常表示为列向量或行向量。
例如，一个 n 维列向量可以表示为：
一个 n 维行向量可以表示为：
其中 v1,v2,…,vn是向量的分量。
行向量和列向量再本质上没有区别。
向量的表示
向量可以用多种方式表示，以下是几种常见的表示方法：
-
几何表示：在二维或三维空间中，向量通常用箭头表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
-
代数表示：向量可以用列向量或行向量表示，如上所述。
-
坐标表示：在二维或三维空间中，向量可以用坐标表示。例如，二维向量 v=(v1,v2)v=(v1,v2) 表示在 x 轴和 y轴上的分量。
1.2向量的运算
向量有几种基本的运算，包括加法、数乘、点积和叉积。
1.2.1向量加法
向量加法是将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。例如，两个 n 维向量 u 和 v 的加法为：
1.2.2向量数乘
向量数乘是将一个向量的每个分量乘以一个标量，得到一个新的向量。例如，一个 n 维向量 v 与标量 k 的数乘为：
1.2.3向量点积
向量点积（内积）是将两个向量的对应分量相乘，然后将结果相加，得到一个标量。例如，两个 n 维向量 u 和 v 的点积为：
1.3矩阵的特征值和特征向量
设 A 是一个 n×n 的方阵。如果存在一个非零列向量 v 和一个标量 λ，使得：
那么 λ 称为矩阵 A的特征值，v 称为对应于特征值 λ 的特征向量。
注：λ可以为0，而v不能为0，并且v是列向量。因为A是n维矩阵，如果v是行向量，则维数是1xn，不满足矩阵相乘。
将定义中的等式移项，得到：
由于v是非零列向量，相当于求上述方程的非零解，由方程有非零解的充要条件是行列式为0的定理可知：
说明：(A-λE)：特征矩阵；|A-λE|：特征行列式或特征多项式；|A-λE|=0：特征方程
结论：
1.λ是A的特征值，v是对应λ的一个特征向量，则cv也是λ的一个特征向量，c为不等于0的标量。
根据定义：
等式两边同乘以c
所以cv也是λ的一个特征向量。
1.4向量的模
1.4.1向量的模的定义
向量 v 的模记作 ∥v∥，计算公式为：
1.4.2向量的模的几何解释
在二维空间中，向量 v=(v1,v2)的模表示从原点到点 (v1,v2)的距离。在三维空间中，向量 v=(v1,v2,v3)的模表示从原点到点 (v1,v2,v3)的距离。
||v||=1，叫做单位向量的模。如：v=(1,0,0)
1.4.3向量的模的性质
- 非负性
∥v∥≥0，并且 ∥v∥=0 当且仅当 v=0（零向量）。
- 齐次性
对于任意标量 k，∥kv∥=∣k∣∥v∥。
- 三角不等式
对于任意向量 u 和 v，∥u+v∥≤∥u∥+∥v∥。
1.5向量的内积
1.5.1向量的内积的定义
对于两个 n 维向量 a=(a1,a2,…,an) 和 b=(b1,b2,…,bn)，它们的内积（点积）表示为 a⋅b，计算公式为：
1.5.2向量的内积的几何解释
在几何上，内积也可以通过向量的模和它们之间的夹角来表示。具体来说，如果 θ 是向量 a 和 b 之间的夹角，那么内积可以表示为：
其中：
-
∥a∥ 和 ∥b∥ 分别是向量 a 和 b 的模（长度）。
-
cos(θ)是夹角 θ 的余弦值。
结论：
向量内积的几何解释其实就是余弦相似度算法的公式，当cos(θ)=1时，表示两个向量重合；当cos(θ)=0时，表示两个向量垂直。
如果使用两个向量分别近似表示两个文本或图像
- 两个向量的cos(θ)越接近1，表示这两个文本内容越相似
- cos(θ)越接近0，表示这两个文本内容越不相似。
1.5.3向量的内积的性质
- 交换律：a⋅b=b⋅a
- 分配律：a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c
- 数乘结合律：(ka)⋅b=k(a⋅b)=a⋅(kb)
- 正定性：a⋅a≥0，并且 a⋅a=0 当且仅当 a=0。