大物 真空中的静电场

真空中的静电场

库仑定律
$$F=\frac{k{q}_1{q}_2}{r^2}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{q_1{q}_2}{r^2}$$
电场强度
$$\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q_0}$$
点电荷的电场
$$\vec{E}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{q}{r^2}\overrightarrow{e_r}$$
点电荷系的电场：由电场叠加原理，$\vec{E}=\sum \overrightarrow{E_i}$,对于连续带电体，
$$\vec{E}=\int \frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{dq}{r^3}\vec{r}$$
典型结论：

无限长带电线 $$E(r)=\frac{\lambda }{2\pi {ϵ}_{0}r}$$

半无限大带电线 $$E(x)=-\frac{\lambda }{4\pi {ϵ}_{0}r},E(y)=\frac{\lambda }{4\pi {ϵ}_{0}r}$$

均匀带电圆环 $E(x)=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{Qx}{(x^2+R^2{)}^{3/2}}$

无限大平面 $E(r)=\frac{\sigma }{2{ϵ}_0}$

均匀带电球面 $r<R,E(r)=0;r>R,E(r)=\frac{Q}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}$

均匀带电球体 $r<R,E(r)=\frac{\rho r}{3{ϵ}_0};r>R,E(r)=\frac{\rho R^3}{3{ϵ}_0{r}^2}$

高斯定理：真空静电场中，通过任一闭合曲面的电通量，等于闭合曲面内包围的电量代数和除以${ϵ}_0\Rightarrow 静电场为有源场$​
$$\begin{gathered} {\iint }_S\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}=\frac{Q_{\text{in}}}{{ϵ}_0} \\ {\iint }_S\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}=\frac{1}{{ϵ}_0}{\iiint }_V\rho dV \end{gathered}$$

专题一：计算电场分布

方法一：利用微元思想，将带电体视作点电荷、带电线、带点面的集合，表示出dq，然后通过积分求解

方法二：高斯定理

使用条件：电场具有一定的对称性

步骤：作闭合高斯面，由高斯定理，计算出电场分布

方法三：已知电势分布，利用电场和电势的微分关系求解电场

静电场中静电力做功只与始末状态有关->安培环流定理（静电场为无旋场）：
$${\oint }_L\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=0$$
静电力做功等于电势能改变量的负值，将电荷单位化，取电势零点（典型的有无穷远点、大地），得到电势定义：
$$V_{a,b}=\frac{W}{q}={\int }_a^b\mathbf{E}d\mathbf{l},V(b)=0$$
点电荷电势
$$V=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{q}{r}$$

专题二：计算电势：

1、利用电势的定义，已知电场分布，选取电势零点，通过电场积分计算电势

2、已知电荷分布，利用电势叠加原理，电势积分计算总电势

典型结论：

均匀带电球面 $r<R,V=\frac{Q}{4\pi {ϵ}_{0}R};$ $r>R,V=\frac{Q}{4\pi {ϵ}_{0}r};$

等势面：

①电势处处相等 ②沿等势面电场力不做功 ③电场沿法线方向 ④电场沿电势降低方向

电势与电场强度的微分关系:

通过构造两个等势面V，V+dV推导得到E与dv的关系
$$E=-\frac{dV}{dn}=-\nabla V$$
理解角度一：电场强度大小等于沿等势面法线方向的电势变化率，分析沿电势降低方向

理解角度二：电势沿等势面法线方向变化率最大

在直角坐标系中，$E_x=-V_x,E_y=-V_y,E_z=-V_z$

在极坐标中，$E_r=-V_r,E_{\theta }=-\frac{1}{r}{V}_{\theta }$