学习--四元数介绍
2022年的草稿箱里的一篇
四元数由William Rowan Hamilton发现
定义与复数类似，有三个虚部
q
=
a
+
b
i
+
c
j
+
d
k
q=a+bi+cj+dk
q=a+bi+cj+dk
其中
i
2
=
j
2
=
k
2
=
i
j
k
=
−
1
i^2=j^2=k^2=ijk=-1
i2=j2=k2=ijk=−1
四元数的模长：
四维的长度
加减法：
对应分量相加减
乘法：
标量相乘
s
q
=
s
(
a
+
b
i
+
c
j
+
d
k
)
sq=s(a+bi+cj+dk)
sq=s(a+bi+cj+dk)
四元数乘法
不符合交换律但符合结合律和分配律
q
1
=
a
+
b
i
+
c
j
+
d
k
q_1=a+bi+cj+dk
q1=a+bi+cj+dk
q
2
=
e
+
f
i
+
g
j
+
h
k
q_2=e+fi+gj+hk
q2=e+fi+gj+hk
Graßmann 积
仅包含虚部的四元数为纯四元数
四元数的逆=四元数的共轭/模长的平方
2D旋转矩阵
[
c
o
s
(
θ
)
−
s
i
n
(
θ
)
s
i
n
(
θ
)
c
o
s
(
θ
)
]
\begin{bmatrix} cos(\theta)&-sin(\theta)\\ sin(\theta)&cos(\theta)\end{bmatrix}
[cos(θ)sin(θ)−sin(θ)cos(θ)]
欧拉公式：
e
i
θ
=
c
o
s
(
θ
)
+
i
s
i
n
(
θ
)
e^{i\theta}=cos(\theta)+isin(\theta)
eiθ=cos(θ)+isin(θ)
复数相乘遵守交换律
两次旋转角之和
四元数解决
欧拉角的旋转会导致Gimbal Lock
四元数比欧拉角多一个自由度
旋转轴的x,y,z坐标及旋转角
θ
\theta
θ
