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【每日一题】LeetCode - 整数转罗马数字

article 2024/10/27 3:54:12

在罗马数字系统中，七个不同的符号代表不同的值：

符号	值
I	1
V	5
X	10
L	50
C	100
D	500
M	1000

罗马数字的表示方式是从最大值开始逐次减去每个符号的值，通过组合这些符号构建最终的表示形式。本文将介绍一个基于贪心策略的解决方案，将整数转换为罗马数字。

解题思路

给定一个整数，我们需要通过罗马数字表示出来。罗马数字的构建规则非常有趣：通常情况下，从较大的数值符号开始，按递减顺序逐步添加符号来表示出整个数。但当数位中以4或9开头时，采用“减法形式”表示——比如4用“IV”而不是“IIII”表示，9则用“IX”而不是“VIIII”。这里，我们需要从高位逐步匹配适合的罗马符号值，并从当前整数中减去该符号对应的数值，直到当前整数变为0。

在此代码实现中，首先定义了一个映射表，按从大到小的顺序列出整数与罗马符号的关系，这样便于直接找到合适的符号。然后，我们从最大的数值符号开始遍历，使用一个 while 循环来处理当前数值。当当前数值大于等于符号所代表的值时，减去该值并将对应的符号附加到结果字符串中。通过不断重复上述过程，我们最终得到完整的罗马数字表示。

示例

以下是几个示例解释：

输入 num = 3749，输出结果为 "MMMDCCXLIX"，解释如下：
- 3000 = “MMM”，因为 1000 (M) + 1000 (M) + 1000 (M)
- 700 = “DCC”，因为 500 (D) + 100 © + 100 ©
- 40 = “XL”，因为 50 (L) - 10 (X)
- 9 = “IX”，因为 10 (X) - 1 (I)
输入 num = 58，输出结果为 "LVIII"，解释如下：
- 50 = “L”
- 8 = “VIII”，因为 5 (V) + 1 (I) + 1 (I) + 1 (I)
输入 num = 1994，输出结果为 "MCMXCIV"，解释如下：
- 1000 = “M”
- 900 = “CM”，因为 1000 (M) - 100 ©
- 90 = “XC”，因为 100 © - 10 (X)
- 4 = “IV”，因为 5 (V) - 1 (I)

代码实现

class Solution {
public:
    string intToRoman(int num) {
        string ans;
        vector<pair<int, string>> m = {
            {1000, "M"},
            {900, "CM"},
            {500, "D"},
            {400, "CD"},
            {100, "C"},
            {90, "XC"},
            {50, "L"},
            {40, "XL"},
            {10, "X"},
            {9, "IX"},
            {5, "V"},
            {4, "IV"},
            {1, "I"}
        };
        
        for(auto p : m) {
            while(num >= p.first) {
                num -= p.first;
                ans += p.second;
            }
        }
        return ans;
    }
};

代码解释

定义罗马数字映射表：首先，我们使用 vector<pair<int, string>> 来存储每一个可能的数值和相应的罗马字符。这里按数值大小从高到低排序，便于逐步匹配。
贪心算法构建字符串：接下来，遍历映射表中的每个 (值, 符号) 对。当输入整数大于等于当前值时，循环执行减去当前值并将相应符号添加到结果字符串。通过这个贪心算法，我们逐步构建最终的罗马数字表示。
终止条件：当输入整数逐步被减为0时，算法终止，最终字符串即为罗马数字。

时间复杂度与空间复杂度

时间复杂度：O(1)。虽然存在一个 while 循环嵌套在 for 循环中，但我们处理的是有限数的整数符号对，映射表长度固定。故时间复杂度可以认为是常数时间。

空间复杂度：O(1)。代码只需要常量空间存储罗马数字符号对，以及一个字符串变量用于保存结果，因此空间复杂度为常数。

扩展思路

在不同的语言中实现该方法也相对容易。例如，在 Python 中可以使用类似的方法，也可以采用字典和字符串的拼接来表示相应的转换。需要注意的是，罗马数字规则虽然固定，但在一些特殊情况下仍需仔细考虑，比如在多层循环处理时可能会影响效率。贪心算法适用于此类问题，因为它确保每次选择的是当前情况下最佳的罗马符号。

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