3.常见的线性规划应用实例
线性规划可以解决各种复杂的优化问题，除了基本的生产与资源分配，还包括以下场景
1. 运输问题
某公司需要将产品从两个仓库运送到三个客户。每个仓库有一定的存货量，而每个客户有需求量。公司希望通过最小化运输成本来满足客户需求。
数据
| 客户 1 | 客户 2 | 客户 3 | 仓库总量 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 仓库 1 | 2 2 2 | 4 4 4 | 5 5 5 | 30 30 30 |
| 2 | 仓库 2 | 3 3 3 | 1 1 1 | 7 7 7 | 20 20 20 |
| 客户需求 | 20 20 20 | 25 25 25 | 5 5 5 |
目标
最小化运输成本，满足客户的需求，同时不超过仓库存货。
步骤
-
目标函数：最小化运输成本。
-
约束条件：
- 每个仓库的发货量不能超过存货量。
- 每个客户的需求必须被满足。
在 Excel 中，你可以用规划求解设置成本函数并添加约束，确保满足每个客户的需求。
Excel 设置
- 在单元格中输入每个仓库到每个客户的运输数量。
- 目标函数为运输成本之和。
- 使用规划求解工具，设置变量为运输数量，最小化目标函数，添加仓库和需求的约束条件。
2. 投资组合优化
某投资者希望在三种资产中分配资金，以最大化回报率。每种资产的回报率和风险水平已知，同时每种资产的投资比例不能超过一定的阈值。
数据
| 资产 1 | 资产 2 | 资产 3 | |
|---|---|---|---|
| 回报率 | 8% | 10% | 12% |
| 风险水平 | 5% | 9% | 11% |
| 最大投资比例 | 40% | 30% | 50% |
目标
最大化回报率，同时限制每个资产的投资比例。
步骤
-
目标函数：最大化组合的回报率。
-
约束条件：
- 每种资产的投资比例不能超过其最大投资比例。
- 总投资比例为 100%。
Excel 设置
- 在 Excel 中设置每种资产的投资比例变量。
- 总回报率为投资比例乘以回报率的和。
- 使用规划求解工具，设置变量为各资产的投资比例，最大化总回报率，添加风险和投资比例的约束条件。
3. 饮食规划问题
某人希望通过选择几种不同的食物来满足每日营养需求，既要控制热量摄入，又要最小化饮食成本。每种食物的营养含量和价格已知。
数据
| 热量 | 蛋白质 | 脂肪 | 价格 | |
|---|---|---|---|---|
| 食物 1 | 200 | 15 | 10 | 1.5 1.5 1.5 |
| 食物 2 | 300 | 10 | 15 | 2.0 2.0 2.0 |
| 食物 3 | 150 | 20 | 5 | 1.0 1.0 1.0 |
目标
在满足每日营养需求的前提下，最小化每日饮食成本。
步骤
- 目标函数：最小化饮食成本。
- 约束条件：
- 每天的总热量、蛋白质和脂肪摄入量必须达到一定的标准。
- 每种食物的摄入量必须为正数。
Excel 设置
- 在 Excel 中输入每种食物的摄入量。
- 总营养值为摄入量乘以每种食物的营养含量之和。
- 使用规划求解工具，设置变量为各食物的摄入量，最小化总成本，添加营养需求的约束条件。
4. 生产混合问题
某公司生产三种不同的产品，产品的利润和资源消耗不同。公司希望最大化利润，且生产资源有限。
数据
| 产品 1 | 产品 2 | 产品 3 | 资源总量 | |
|---|---|---|---|---|
| 利润 | 50 50 50 | 40 40 40 | 30 30 30 | |
| 资源 1 消耗/单位 | 2 2 2 | 3 3 3 | 1 1 1 | 200 200 200 |
| 资源 2 消耗/单位 | 4 4 4 | 2 2 2 | 3 3 3 | 300 300 300 |
目标
最大化利润，受资源消耗的限制。
步骤
- 目标函数：最大化利润。
- 约束条件：
- 每种资源的总消耗量不能超过其供应量。
Excel 设置
- 在 Excel 中输入每种产品的生产数量。
- 总利润为产品数量乘以利润的和。
- 使用规划求解工具，设置变量为生产数量，最大化利润，添加资源约束条件。
总结
每个实例都有不同的目标函数和约束条件，通过 Excel 的规划求解工具，你可以轻松求解这些线性规划问题。