信息安全数学基础（33）群
一、定义
群是一个集合G，以及定义在G上的一个二元运算（通常称为乘法或合成），该运算满足以下四个基本性质：
- 封闭性：对于G中的任意两个元素a和b，它们的乘积a*b也是G中的元素。
- 结合律：对于G中的任意三个元素a、b和c，有(ab)c = a(bc)。
- 单位元：G中存在一个特殊元素e（称为单位元或幺元），使得对于G中的任意元素a，都有ea = ae = a。
- 逆元：对于G中的任意元素a，G中存在另一个元素a^(-1)（称为a的逆元），使得aa(-1)a = e。
二、类型
根据群的定义和性质，可以将群分为多种类型：
- 阿贝尔群（交换群）：如果群G中的运算满足交换律，即对于G中的任意两个元素a和b，都有ab = ba，则称G为阿贝尔群或交换群。
- 非阿贝尔群：如果群G中的运算不满足交换律，则称G为非阿贝尔群。
- 有限群：如果群G中的元素数量是有限的，则称G为有限群。
- 无限群：如果群G中的元素数量是无限的，则称G为无限群。
- 循环群：如果群G中的每一个元素都可以表示为某个固定元素a的幂次，即对于G中的任意元素x，都存在一个整数n，使得x = a^n，则称G为循环群。
三、例子
以下是一些常见的群的例子：
- 整数加法群：全体整数Z对于加法运算构成一个群，其中单位元是0，任意整数a的逆元是-a。
- 非零实数乘法群：全体非零实数对于乘法运算构成一个群，其中单位元是1，任意非零实数a的逆元是1/a。
- 置换群：设S是一个有限集合，S的所有双射（即一一映射）构成的集合在映射的合成运算下构成一个群，称为S的置换群。
- 一般线性群：设V是一个n维向量空间，V的所有可逆线性变换构成的集合在变换的合成运算下构成一个群，称为V的一般线性群。
四、应用
群在数学和物理学等多个领域都有广泛的应用：
- 数学领域：群论是数学的一个重要分支，它研究群的结构和性质。群论在代数几何、代数数论、组合数学等领域都有重要的应用。
- 物理学领域：群论在量子力学、固体物理学等领域也有广泛的应用。例如，在量子力学中，对称性和守恒律与群论有密切的联系；在固体物理学中，群论被用于描述晶体的对称性和振动模式等。
总结
综上所述，群是数学中的一个基本概念，具有广泛的应用价值。通过深入研究群的结构和性质，可以更好地理解数学和物理学等领域中的许多问题。
结语
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