信息安全数学基础(33)群
一、定义
群是一个集合G,以及定义在G上的一个二元运算(通常称为乘法或合成),该运算满足以下四个基本性质:
- 封闭性:对于G中的任意两个元素a和b,它们的乘积a*b也是G中的元素。
- 结合律:对于G中的任意三个元素a、b和c,有(ab)c = a(bc)。
- 单位元:G中存在一个特殊元素e(称为单位元或幺元),使得对于G中的任意元素a,都有ea = ae = a。
- 逆元:对于G中的任意元素a,G中存在另一个元素a^(-1)(称为a的逆元),使得aa(-1)a = e。
二、类型
根据群的定义和性质,可以将群分为多种类型:
- 阿贝尔群(交换群):如果群G中的运算满足交换律,即对于G中的任意两个元素a和b,都有ab = ba,则称G为阿贝尔群或交换群。
- 非阿贝尔群:如果群G中的运算不满足交换律,则称G为非阿贝尔群。
- 有限群:如果群G中的元素数量是有限的,则称G为有限群。
- 无限群:如果群G中的元素数量是无限的,则称G为无限群。
- 循环群:如果群G中的每一个元素都可以表示为某个固定元素a的幂次,即对于G中的任意元素x,都存在一个整数n,使得x = a^n,则称G为循环群。
三、例子
以下是一些常见的群的例子:
- 整数加法群:全体整数Z对于加法运算构成一个群,其中单位元是0,任意整数a的逆元是-a。
- 非零实数乘法群:全体非零实数对于乘法运算构成一个群,其中单位元是1,任意非零实数a的逆元是1/a。
- 置换群:设S是一个有限集合,S的所有双射(即一一映射)构成的集合在映射的合成运算下构成一个群,称为S的置换群。
- 一般线性群:设V是一个n维向量空间,V的所有可逆线性变换构成的集合在变换的合成运算下构成一个群,称为V的一般线性群。
四、应用
群在数学和物理学等多个领域都有广泛的应用:
- 数学领域:群论是数学的一个重要分支,它研究群的结构和性质。群论在代数几何、代数数论、组合数学等领域都有重要的应用。
- 物理学领域:群论在量子力学、固体物理学等领域也有广泛的应用。例如,在量子力学中,对称性和守恒律与群论有密切的联系;在固体物理学中,群论被用于描述晶体的对称性和振动模式等。
总结
综上所述,群是数学中的一个基本概念,具有广泛的应用价值。通过深入研究群的结构和性质,可以更好地理解数学和物理学等领域中的许多问题。
结语
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