算法篇——动态规划最终篇 (js版)

动态规划做题顺序：

• 确定 dp[i] 的意义
• 确定递推公式
• 初始化 dp[i]
• 确定遍历顺序
• 举例分析

300. 最长递增子序列

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。
链接：力扣

解题思路：

本题主要考虑 元素的递增，因此确定 递推公式 时，也要考虑 当前遍历后的子序列的尾元素 和 即将要遍历的元素 谁大，从而确定 递归序列的尾元素 是谁。

所以 dp[i] 就是表示 当前遍历后的子序列的长度。并且可以确定递推公式：

dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1) && nums[i] > nums[j]

这里的比较是针对取最大的 dp[j] 的子序列长度，不是将 dp[i] 和 dp[j] 进行比较，也可以理解成这样：

dp[i] = Math.max(dp[j]) + 1 && nums[i] > nums[j] && 0 <= j < i

再求解 Math.max(dp[i]) 即可

初始化长度为1，因为长度至少是1。

var lengthOfLIS = function(nums) {
    if(nums.length == 1) return 1
    // 初始化都为1
    let dp = Array(nums.length).fill(1)
    // 递增子序列的长度
    let res = 1
    for(let i = 1; i < nums.length; i++) {
        for(let j = 0; j < i; j++) {
            // 获取最大的 dp[j]
            if(nums[i] > nums[j]) dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1)
        }
        // 得到最长子序列长度
        res = Math.max(dp[i], res)
    }
    return res
}

674. 最长连续递增序列

给定一个未经排序的整数数组，找到最长且 连续递增的子序列，并返回该序列的长度。

连续递增的子序列 可以由两个下标 l 和 r（l < r）确定，如果对于每个 l <= i < r，都有 nums[i] < nums[i + 1] ，那么子序列 [nums[l], nums[l + 1], ..., nums[r - 1], nums[r]] 就是连续递增子序列
链接：力扣

解题思路：

本题与上一题的不同之处在于，这道题强调 “连续”，也就是说不比较 nums[j] 与 nums[i]（j 从0遍历到 i），而是比较 nums[i] 与 nums[i - 1]，也就无需双层循环。连续递增的子序列长度最小是1，所以初始化是1。递推公式是：

dp[i] = dp[i - 1] + 1 && nums[i] > nums[i - 1]

var findLengthOfLCIS = function(nums) {
    if(nums.length == 1) return 1
    // 初始化都为1
    let dp = Array(nums.length).fill(1)
    // 递增子序列的长度
    let res = 1
    for(var i = 1; i < nums.length; i++) {
        if(nums[i] > nums[i-1]) dp[i] = dp[i-1] + 1
        if (dp[i] > res) res = dp[i]
    }
    return res
}

 718. 最长重复子数组

给两个整数数组 nums1 和 nums2 ，返回 两个数组中 公共的 、长度最长的子数组的长度 。 

链接：力扣 

解题思路：

本题是要在连续最长子序列基础上，找到两个数组中的公共序列，因此，确定 dp[i][j] 是以 i - 1结尾的子序列1，和以 j - 1结尾的子序列2，最长重复子序列长度为 dp[i][j]。确定递推公式是：

dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1 && nums1[i - 1] == nums2[j - 1]

关于初始化：dp[i][0] 和dp[0][j] 在整个递推过程中没有实际意义，所以dp[i][0] 和dp[0][j]初始化为0。（这里需要初始化，方便递推）这里的遍历顺序可以先1后2或者先2后1都可以。

var findLength = function(nums1, nums2) {
    const len1 = nums1.length, len2 = nums2.length
    // dp数组初始化，都初始化为0
    const dp = Array.from({ length: len1 + 1 }, () => Array(len2 + 1).fill(0))
    // 初始化最大长度为0
    let res = 0
    for(let i = 1; i <= len1; i++) {
        for(let j = 1; j <= len2; j++) {
            if(nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) 
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
            res = Math.max(res, dp[i][j])
        }
    }
    return res
}