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【高等数学】6向量与空间几何

article 2024/11/4 18:15:54

1. 向量及其运算

1.1. 单向量的计算

向量的模的计算

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$

单位向量的计算

1. 计算模：$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$

2. 向量除以它的模：$\overrightarrow{e}_a=\frac{\overrightarrow{a}}{\left|\overrightarrow{a}\right|}$

1.2. 向量的点乘

点乘的计算

点乘：算出来的是一个数，所以点乘又称为向量的数量积。

向量点乘的计算公式：$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\left(a_x,a_y,a_z\right)\cdot\left(b_x,b_y,b_z\right)=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$

向量的夹角计算

向量的夹角公式：$\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$

向量间平行垂直的判定

1. 平行的条件：$\frac{a_x}{b_x}=\frac{a_y}{b_y}=\frac{a_z}{b_z}$

2. 垂直的条件：$ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0 $

1.3. 向量的叉乘

叉乘的计算

叉乘：算出来的是一个向量，所以点乘又称为两个向量的向量积。这个向量在方向上和原来的两个向量都垂直。两个向量对应的叉乘向量有两个，\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{a}。

向量叉乘的计算公式：$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=\begin{vmatrix}i&j&k\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{vmatrix}$

例题

已知\overrightarrow{a}=(1,2,3)，\overrightarrow{b}=(4,5,6)，求\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}。

2. 空间平面和直线

2.1. 平面方程

核心思想

找点找向量

2.1.1. 点法式

1. 


http://www.kler.cn/a/379032.html

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