从最小作用量原理推导牛顿三大定律

从最小作用量原理推导牛顿三大定律

最小作用量原理是物理学中的一个基本原理，它指出物理系统的演化路径是使作用量达到极小值的路径。作用量通常表示为系统的拉格朗日量 $L$ 在时间上的积分：

$$S={\int }_{t_1}^{t_2}Ldt$$

其中，$L$ 是拉格朗日量，$t_1$ 和 $t_2$ 分别是初始时间和终止时间。

牛顿第一定律

牛顿第一定律（惯性定律）指出，如果一个物体不受外力作用，它将保持静止状态或匀速直线运动状态。可以通过最小作用量原理推导这一结论。

假设一个物体的拉格朗日量 $L$ 仅依赖于位置 $x$ 和速度 $\dot{x}$，且不受外力作用：

$$L=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2$$

其中，$m$ 是物体的质量。根据最小作用量原理，系统的演化路径使得作用量 $S$ 取极小值。为了找到这个极小值，需要对作用量 $S$ 进行变分，即对路径 $x(t)$ 进行微小的变化 $\delta x(t)$，并要求作用量的变化 $\delta S$ 为零：

$$\delta S=\delta {\int }_{t_1}^{t_2}\frac{1}{2}m{\dot{x}}^{2}dt=0$$

通过变分法，可以得到欧拉-拉格朗日方程：

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=0$$

将 $L=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2$ 代入欧拉-拉格朗日方程，得到：

$$\frac{d}{dt}(m\dot{x})=0$$

这意味着 $m\dot{x}$ 是一个常数，即物体的速度 $\dot{x}$ 保持不变。因此，如果物体不受外力作用，它将保持静止状态或匀速直线运动状态，这就是牛顿第一定律。

牛顿第二定律

牛顿第二定律（加速度定律）指出，物体的加速度与所受外力成正比，且加速度的方向与外力的方向相同。可以通过最小作用量原理推导这一结论。

假设一个物体的拉格朗日量 $L$ 依赖于位置 $x$、速度 $\dot{x}$ 和外力 $F$：

$$L=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2-V(x)$$

其中，$V(x)$ 是势能，满足 $F=-\frac{dV}{dx}$。根据最小作用量原理，系统的演化路径使得作用量 $S$ 取极小值。为了找到这个极小值，需要对作用量 $S$ 进行变分，即对路径 $x(t)$ 进行微小的变化 $\delta x(t)$，并要求作用量的变化 $\delta S$ 为零：

$$\delta S=\delta {\int }_{t_1}^{t_2}\left(\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2-V(x)\right)dt=0$$

通过变分法，可以得到欧拉-拉格朗日方程：

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=0$$

将 $L=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2-V(x)$ 代入欧拉-拉格朗日方程，得到：

$$\frac{d}{dt}(m\dot{x})+\frac{dV}{dx}=0$$

由于 $F=-\frac{dV}{dx}$，可以得到：

$$m\ddot{x}=F$$

这就是牛顿第二定律，表明物体的加速度与所受外力成正比，且加速度的方向与外力的方向相同。

牛顿第三定律

牛顿第三定律（作用与反作用定律）指出，任何两个物体之间的相互作用力总是大小相等、方向相反。可以通过最小作用量原理推导这一结论。

假设两个物体的拉格朗日量 $L$ 依赖于它们的位置 $x_1$、$x_2$ 和速度 ${\dot{x}}_1$、${\dot{x}}_2$，以及相互作用势能 $V(x_1,x_2)$：

$$L=\frac{1}{2}{m}_1{\dot{x}}_1^2+\frac{1}{2}{m}_2{\dot{x}}_2^2-V(x_1,x_2)$$

根据最小作用量原理，系统的演化路径使得作用量 $S$ 取极小值。为了找到这个极小值，需要对作用量 $S$ 进行变分，即对路径 $x_1(t)$ 和 $x_2(t)$ 进行微小的变化 $\delta x_1(t)$ 和 $\delta x_2(t)$，并要求作用量的变化 $\delta S$ 为零：

$$\delta S=\delta {\int }_{t_1}^{t_2}\left(\frac{1}{2}{m}_1{\dot{x}}_1^2+\frac{1}{2}{m}_2{\dot{x}}_2^2-V(x_1,x_2)\right)dt=0$$

通过变分法，可以得到欧拉-拉格朗日方程：

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}_1}\right)-\frac{\partial L}{\partial x_1}=0$$

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}_2}\right)-\frac{\partial L}{\partial x_2}=0$$

将 $L=\frac{1}{2}{m}_1{\dot{x}}_1^2+\frac{1}{2}{m}_2{\dot{x}}_2^2-V(x_1,x_2)$ 代入欧拉-拉格朗日方程，得到：

$$m_1{\ddot{x}}_1=-\frac{\partial V}{\partial x_1}$$

$$m_2{\ddot{x}}_2=-\frac{\partial V}{\partial x_2}$$

由于 $V(x_1,x_2)$ 是相互作用势能，满足 $F_{12}=-\frac{\partial V}{\partial x_1}$ 和 $F_{21}=-\frac{\partial V}{\partial x_2}$，且 $F_{12}=-F_{21}$，可以得到：

$$m_1{\ddot{x}}_1=F_{12}$$

$$m_2{\ddot{x}}_2=F_{21}=-F_{12}$$

这就是牛顿第三定律，表明任何两个物体之间的相互作用力总是大小相等、方向相反。

举例说明

为了更好地理解这一过程，可以通过一个具体的例子来说明：一个简单的谐振子。其拉格朗日量为：

$$L=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2-\frac{1}{2}k{x}^2$$

其中，$m$ 是质量，$k$ 是弹性系数。将这个拉格朗日量代入欧拉-拉格朗日方程，得到：

$$\frac{d}{dt}\left(m\dot{x}\right)+kx=0$$

简化后得到：

$$m\ddot{x}+kx=0$$

这就是简单谐振子的运动方程。通过这个例子，可以看到，最小作用量原理不仅是物理学中的一个基本原理，还可以用于推导系统的运动方程，从而为牛顿三大定律提供了坚实的理论基础。