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大数据-207 数据挖掘机器学习理论 - 多重共线性矩阵满秩线性回归算法

article 2024/12/24 11:26:51

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章节内容

上节我们完成了如下的内容：

多元线性回归回归算法实现
多元线性回归算法评估指标

在这里插入图片描述

代码实现

使用 scikit-learn 算法库实现线性回归算法，并计算相应评价指标。回顾前文介绍的相关知识进行下述计算。

from sklearn.linear_model import LinearRegression
reg = LinearRegression()
reg.fit(data.iloc[:,:-1].values,data.iloc[:,-1].values)
reg.coef_ # 查看方程系数
reg.intercept_ # 查看系数

对比手动计算的 ws，其结果高度一致。
然后计算模型 MSE 和判别系数：

from sklearn.metrics import mean_squared_error,r2_score
yhat = reg.predict(data.iloc[:,:-1])
mean_squared_error(y,yhat)
r2_score(y,yhat)

多重共线性

虽然在线性回归求解过程中，通过借助最小二乘法能够迅速找到全域最优解，但最小二乘法本身使用条件较为苛刻，必须要求当 XTX 为满矩阵时才可以进行逆矩阵或广义矩阵的求解。在实际应用中经常会遇到矩阵不存在矩阵或广义逆矩阵的情况，并且当 X 的各列存在线性相关关系（即多重共线性）的时候，最小二乘法的求解结果不唯一。

这里需要注意是，在进行数据采集的过程中，数据集各列是对同一个客观事物进行客观描述，很难避免多重共线性的存在，因此存在共线性是很多数据集的一般情况。当然更为极端的情况则是数据集的列比行多，此时最小二乘法无法对其进行求解。因此，寻找性回归算法的优化方案势在必行。
首先我们来了解多重共性，在第二节中我们曾推导了多元线性回归使用最小二乘法的求解原理，我们对多元线性回归的损失函数求导，并得出求解系数 w 得式子和过程：

在这里插入图片描述
在最后一步中我们需要左乘 XTX 的逆矩阵，而矩阵存在得充分必要条件是特征不存在多重共线性。

矩阵存在的充分必要条件

首先，我们需要先理解逆矩阵存在与否的意义和影响，一个矩阵什么情况下会有逆矩阵？
根据逆矩阵的定理，若 |A| != 0，则矩阵A 可逆，且：

在这里插入图片描述

其中 A* 是矩阵 A 的伴随矩阵，任何矩阵都可以有伴随矩阵，因此这一部分不影响逆矩阵的存在性，而分母上行列式｜A｜就不同了，位于分母变量不能为 0，一旦为 0 则无法计算出逆矩阵。因此逆矩阵存在的充分必要条件是：矩阵的行列式不能为 0，对于线性回归而言，即是说｜XTX｜不能为 0，这是使用最小二乘法求解线性回归的核心条件之一。

行列式不为 0 的充分必要条件

那行列式不为 0，需要满足什么条件？在这里，我们复习一下线性代数中的基本知识，假设我们的特征矩阵 X结构为（m,n），则 XTX 就是结构为（n,m）的矩阵，从而得到结果为（n,n）的矩阵。

因此以下所有的例子都将以方矩阵进行举例，方便大家理解，首先区别一下矩阵和行列式：
在这里插入图片描述

任何矩阵都可以有行列式，以一个 3*3 的行列式为例，我们来看看行列式如何计算的？
在这里插入图片描述
这个式子乍一看非常混乱，其实并非如此，我们把行列式按照下面的方式排列一下，很容易就看出这个式子实际上怎么回事了：

三个特征的特征矩阵的行列式就有六个交互项，在现实中我们特征矩阵不可能是如此低维度数据，因此使用这样的方式计算就变得异常困难。在线性代数中，我们可以通过行列式的计算将一个行列式整合成一个梯形的行列式：
在这里插入图片描述
梯形的行列式表现为，所有的数字都被整合到对角线的上方或下方（通常是上方），虽然具体的数字发生了变化（比如由 x11 变成了 a11），但是行列式的大小在初等行变换的过程中是不变的，对于梯形行列式，行列式的计算要容易的多：
在这里插入图片描述
不难发现，由于梯形行列式下半部分为 0，整个矩阵的行列式其实就是梯形行列式对角线上的元素相乘。并且此时时刻，只要对角线上的任意元素为 0，整个行列式都会为 0，那只要对角线上没有一个元素为 0，行列式就不会为 0。在这里我们映入一个重要的概念：满秩矩阵。

矩阵满秩的充分必要条件

一个矩阵要满秩，则转换为梯形矩阵后的对角线上没有 0，那什么样的矩阵在对角线上没有 0？来看下面的三个矩阵：
在这里插入图片描述
我们可以对矩阵做初等行变换和列变换，包括交换行/列顺序，将一列/一行乘以用一个常数后加减到另一个一列/一行上，来将矩阵化为梯形矩阵，对于上面的两个矩阵我们可以有如下变换：

继续进行变换：
在这里插入图片描述
如此就转换成了梯形矩阵，我们可以看到，矩阵 A 明显不是满秩的，它有全零行所以行列式会为 0，而矩阵 B 和 C 没有全零行所以满秩。
而矩阵 A 和矩阵 B 的区别在于，A 中存在完全具有线性关系的两行（1,1,2 和 2,2,4），而 B 和 C 中则没有这样的两行。
而矩阵 B 虽然对角线上每个元素都不为 0，但具有非常接近于 0 的元素 0.02，而矩阵 C 的对角线上没有任何元素特别接近于 0。

矩阵 A 中第一行和第三行的关系，被称为：精确相关关系，即完全相关，一行可使另一行为 0，在这种精确相关关系下，矩阵 A 的行列式为 0，则矩阵 A 的逆不可能存在。在我们的最小二乘法中，如果矩阵 XTX 中存在这种精确相关关系，则逆不存在，最小二乘法完全无法使用，线性回归会无法求出结果。

在这里插入图片描述
矩阵 B 中第一行和第三行的关系不太一样，他们之间非常接近于精确相关关系，但又不是完全相关，一行不能使领一行为 0，这种关系被称为高度相关关系。这种高度相关关系下，矩阵的行列式不为 0，但是一个非常接近 0 数，矩阵 A 的逆存在，不过接近于无限大。在这种情况下，最小二乘法可以使用，不过得到的逆会很大，直接影响我们对参数向量 w 的求解：

在这里插入图片描述
这样求解出来的参数向量 w 会很大，因此会影响建模的结果，造成模型有偏差或者不可用。精确相关关系和高度相关关系并称为多重共线性。在多重共线性下，模型无法建立，或者模型不可用。
相对的，矩阵 C 的行之间结果相互独立，梯形矩阵看起来非常正常，它的对角线上没有任何元素特别接近于 0，因此其行列式也就不会接近0 或者为 0，因此矩阵 C 得出的参数向量 w 就不会有太大的偏差，对于我们拟合而言是比较理想的。