【欧拉公式】从无穷级数角度理解
欧拉公式（Euler’s Formula）是复数和三角函数之间的一个深刻而优美的关系，由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉提出。它在数学和物理中有着重要地位。欧拉公式可以写成：
e i θ = cos θ + i sin θ e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta eiθ=cosθ+isinθ
其中：
- ( e ) 是自然对数的底，约等于 2.71828。
- ( i ) 是虚数单位，满足 ( i 2 = − 1 i^2 = -1 i2=−1 )。
- ( θ \theta θ ) 是一个实数，通常表示角度（用弧度表示）。
- ( cos θ \cos \theta cosθ) 和 ( sin θ \sin \theta sinθ) 是分别是角度 ( θ \theta θ) 的余弦和正弦值。
1. 几何解释
在复平面上，欧拉公式将一个复数 ( e i θ e^{i\theta} eiθ ) 表示为一个模长为 1、辐角为 ( θ \theta θ) 的复数。也就是说，这个复数位于单位圆上，距离原点 1 个单位，角度为 ( θ \theta θ)。这是极坐标和复数指数表示之间的桥梁。
2. 欧拉公式的推导
欧拉公式可以通过泰勒级数展开式推导。回顾 ( e x e^x ex )、( cos x \cos x cosx)、( sin x \sin x sinx) 的泰勒级数：
e x = 1 + x 1 ! + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! + ⋯ e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots ex=1+1!x+2!x2+3!x3+4!x4+⋯
cos x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + ⋯ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots cosx=1−2!x2+4!x4−6!x6+⋯
sin x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots sinx=x−3!x3+5!x5−7!x7+⋯
将 ( x ) 替换为 ( i θ i\theta iθ )，再将其带入 ( e^{i\theta} ) 的展开式中，可以得到
e i θ = 1 + i θ − θ 2 2 ! − i θ 3 3 ! + θ 4 4 ! + i θ 5 5 ! − ⋯ e^{i\theta} = 1 + i\theta - \frac{\theta^2}{2!} - i \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + i \frac{\theta^5}{5!} - \cdots eiθ=1+iθ−2!θ2−i3!θ3+4!θ4+i5!θ5−⋯
重组实部和虚部，发现实部是 ( cos θ \cos \theta cosθ) 的展开式，虚部是 ( sin θ \sin \theta sinθ) 的展开式，因此：
e i θ = cos θ + i sin θ e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta eiθ=cosθ+isinθ
3. 欧拉恒等式
当 ( θ = π \theta = \pi θ=π) 时，欧拉公式给出一个极简而又美妙的公式，被称为欧拉恒等式：
e i π + 1 = 0 e^{i \pi} + 1 = 0 eiπ+1=0
这个公式将五个最基本的数学常数 (e)、(i)、( π \pi π)、1 和 0 通过简单的等式连接起来，被誉为数学中的“宝石”。
4. 欧拉公式的应用
欧拉公式在许多领域有广泛应用，例如：
- 电路分析：在交流电中，电压和电流可以用复数表示，便于分析相位差和幅值。
- 量子力学：波函数常使用复数表示，欧拉公式有助于描述波动行为。
- 信号处理：在傅里叶变换和拉普拉斯变换中，欧拉公式用于将正弦信号和指数信号转换，从而简化分析。