布朗运动

内容来源

数理金融初步（原书第3版）Sheldon M. Ross著 冉启康译 机械工业出版社

布朗运动

定义

如果随机变量集合 $X(t)$ 满足以下条件

1. $X(0)$ 是一个给定的常数

2. 对所有正数 $y$ 和 $t$，随机变量 $X(y+t)-X(y)$ 独立于到 $y$ 为止的所有过程值，且它服从均值为 $\mu t$，方差为 $t{\sigma }^2$ 的正态分布

则称其为一个漂移参数为 $\mu$，方差参数为 ${\sigma }^2$ 的布朗运动

条件 $2$ 表明，是过程的现值而不是任何的过去值决定了过程的将来值的概率

连续

$X(t)$ 以概率 $1$ 是 $t$ 的连续函数

$$\underset{h\to 0}{\lim }[X(t+h)-X(t)]$$

随机变量 $X(t+h)-X(t)$ 的均值、方差分别为 $\mu h$ 和 $h{\sigma }^2$

当 $h\to 0$ 时，它收敛于一个均值为 $0$，方差为 $0$ 的随机变量，即常数 $0$

处处不可微

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{X(t+h)-X(t)}{h}$$

$\frac{X(t+h)-X(t)}{h}$ 的均值为 $\mu$，方差为 ${\sigma }^2/h$

当 $h\to 0$ 时，方差显然不收敛

布朗运动可由一个相对简单的过程近似

设 $\Delta$ 是一个很小的时间增量，考虑一个过程，使其在每个 $\Delta$ 时间长度上，该过程或以概率 $p$ 增加 $\sigma \sqrt{\Delta }$，或以概率 $1-p$ 减少 $\sigma \sqrt{\Delta }$，其中

$$p=\frac{1}{2}\left(1+\frac{\mu }{\sigma }\sqrt{\Delta }\right)$$

且该过程后面的改变值与前面的改变值是独立的

让 $\Delta \to 0$，该过程就变成了一个漂移参数为 $\mu$，方差参数为 ${\sigma }^2$ 的布朗运动

证明如下

设

$$X_i=\{\begin{array}{ll}1& 如果在时刻i\Delta 变化是增加\\ -1& 如果在时刻i\Delta 变化是减少\end{array}$$

再设 $X(0)$ 表示过程在时刻 $0$ 的值，那么 $n$ 次变化之后，过程值为

$$X(n\Delta )=X(0)+\sigma \sqrt{\Delta }(X_1+X_2+\cdots +X_n)$$

那么

$$X(t)-X(0)=\sigma \sqrt{\Delta }\sum _{i=1}^{t/\Delta }{X}_i$$

由于 $X_i$ 相互独立，当 $\Delta \to 0$ 时，求和式 ${\sum }_{i=1}^{t/\Delta }{X}_i$ 中的项变得足够多

根据中心极限定理，这个和收敛于一个正态随机变量

其均值与方差分别为

$$E[X_i]=1\cdot p-1\cdot (1-p)=2p-1=\frac{\mu }{\sigma }\sqrt{\Delta }$$

$$Var(X_i)=E[X_i^2]-E^2[X_i]=1-(2p-1{)}^2$$

因此

$$\begin{array}{rl}E[X(t)-X(0)]& =E\left[\sigma \sqrt{\Delta }\sum _{i=1}^{t/\Delta }{X}_i\right]\\ & =\sigma \sqrt{\Delta }\sum _{i=1}^{t/\Delta }E[X_i]\\ & =\sigma \sqrt{\Delta }\frac{t}{\Delta }\frac{\mu }{\sigma }\sqrt{\Delta }\\ & =\mu t\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}Var(X(t)-X(0))& =Var\left(\sigma \sqrt{\Delta }\sum _{i=1}^{t/\Delta }{X}_i\right)\\ & ={\sigma }^2\Delta \sum _{i=1}^{t/\Delta }Var[X_i]\\ & ={\sigma }^2\Delta \frac{t}{\Delta }[1-(2p-1{)}^2]\end{array}$$

当 $\Delta \to 0$ 时，$p\to \frac{1}{2}$，由上式

$$Var(X(t)-X(0))\to t{\sigma }^2,\Delta \to 0$$

综上，当 $\Delta \to 0$ 时，$X(t)-X(0)$ 收敛于 $N(\mu t,t{\sigma }^2)$

由于过程后面的改变与前面的改变独立，且每次改变增加或减少点概率是相同的

所以 $X(y+t)-X(y)$ 与 $X(t)-X(0)$ 有相同分布

且 $X(y+t)-X(y)$ 与 $y$ 之前的过程改变是独立的

因此，当 $\Delta \to 0$ 时，过程值在时间上的集合是一个漂移参数为 $\mu$，方差参数为 ${\sigma }^2$ 的布朗运动

布朗运动的重要性质

给定 $X(t)=x$，那么集合 $X(y),0⩽y⩽t$ 的条件概率分布与 $\mu$ 的取值无关

证

更像是说明

设 $s=X(0)$ 是 $0$ 时刻的价格

考虑近似模型，其中价格是在 $\Delta$ 的整倍数时间上变化的，其每次改变量的决定值相同，设为 $c=\sigma \sqrt{\Delta }$（注意 $c$ 不依赖于 $\mu$）

到 $t$ 时刻，变化次数为 $t/\Delta$，变化的量为 $x-s$

则正改变有 $\frac{t}{2\Delta }+\frac{x-s}{2c}$ 次，负改变有 $\frac{t}{2\Delta }-\frac{x-s}{2c}$ 次

由于每次改变都是独立的，因而在给定条件下，正改变在总改变中的每种排列都是等可能的

因此，尽管 $p$ 依赖于 $\mu$，但到 $t$ 时刻为止的历史值在 $X(t)=x$ 下的条件分布不依赖于 $\mu$