λ矩阵与矩阵的Jordan标准形

λ矩阵与矩阵的Jordan标准形

λ矩阵简介

设$a_{ij}(\lambda )(1\le i\le m,1\le j\le n)$是数域P上的多项式，那么以$a_{ij}(\lambda )$为元素的$m\times n$的矩阵$A(\lambda )$
$$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& ...& a_{nn}\end{array}\right)$$

成为多项式矩阵或$\lambda$矩阵，多项式$a_{ij}$中的最高次数就是$A(\lambda )$的次数。数字矩阵是0次的$\lambda$矩阵，$\lambda I-A$就是1次的$\lambda$矩阵。

若是$A(\lambda )$经过有限次初等变换可以化为$B(\lambda )$，则称$\lambda$矩阵$A(\lambda )$和$B(\lambda )$相抵。

Smith标准型

$A(\lambda )$相抵于如下的对角阵
$${\left(\begin{array}{cccccccc}{d}_1(\lambda )& & & & & & & \\ & d_2(\lambda )& & & & & & \\ & & d_3(\lambda )& & & & & \\ & & & \ddots & & & & \\ & & & & & 0& & \\ & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & 0\end{array}\right)}_{m\times n}$$
其中$d_i(\lambda )$是首项系数为1的多项式，并且$d_i(\lambda )$可以被$d_{i+1}(\lambda )$整除。

Smith标准型是唯一的。

行列式因子、不变因子、初等因子

行列式因子：$A(\lambda )$的全部k阶子式的最大公因式称为$A(\lambda )$的k阶行列式因子。

不变因子：Smith标准型主对角线上非零元称为$A(\lambda )$的不变因子。

$$\{\begin{array}{l}(1)D_1(\lambda )|D_2(\lambda ),D_2(\lambda )|D_3(\lambda ),\cdots ,D_{r-1}(\lambda )|D_r(\lambda )\\ \\ (2)d_1(\lambda )=D_1(\lambda ),d_2(\lambda )=D_2(\lambda )/D_1(\lambda ),\cdots ,d_r(\lambda )=D_r(\lambda )/D_{r-1}(\lambda )\end{array}$$

$D_i(\lambda )$是行列式因子，$d_i(\lambda )$是不变因子。

初等因子：假设$A(\lambda )$的不变因子为$d_1(\lambda )$,$d_2(\lambda )$,$\cdots$ ,$d_r(\lambda )$,将它们分解为一次因式的幂的乘积：
$$\{\begin{array}{l}{d}_1(\lambda )=(\lambda -{\lambda }_1{)}^{e_{11}}(\lambda -{\lambda }_2{)}^{e_{12}}\cdots (\lambda -{\lambda }_s{)}^{e_{1s}}\\ d_2(\lambda )=(\lambda -{\lambda }_1{)}^{e_{21}}(\lambda -{\lambda }_2{)}^{e_{22}}\cdots (\lambda -{\lambda }_s{)}^{e_{2s}}\\ d_3(\lambda )=(\lambda -{\lambda }_1{)}^{e_{31}}(\lambda -{\lambda }_2{)}^{e_{32}}\cdots (\lambda -{\lambda }_s{)}^{e_{3s}}\\ \cdots \\ d_r(\lambda )=(\lambda -{\lambda }_1{)}^{e_{r1}}(\lambda -{\lambda }_2{)}^{e_{r2}}\cdots (\lambda -{\lambda }_s{)}^{e_{rs}}\end{array}$$
其中，$e_{ij}$满足：
$$\{\begin{array}{l}0\le e_{11}\le e_{21}\cdots \le e_{r1}\\ 0\le e_{12}\le e_{22}\cdots \le e_{r2}\\ 0\le e_{13}\le e_{23}\cdots \le e_{r3}\\ \cdots \\ 0\le e_{1r}\le e_{2r}\cdots \le e_{rs}\end{array}$$
所有指数大于0的因子$(\lambda -{\lambda }_j{)}^{e_{ij}}$称为$A(\lambda )$的初等因子。

相抵的$\lambda$矩阵具有相同的秩、相同的各阶行列式因子、相同的不变因子。

Jordan标准型

Jordan块为:
$$J_i={\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_i& 1& & 0\\ & {\lambda }_i& \ddots & \\ & & \ddots & 1\\ & & & {\lambda }_i\end{array}\right)}_{n_i\times n_i}$$
即，对角为$\lambda$，副队角为1，其余为0。

多个Jordan块构成一个Jordan形矩阵。

例如：
$$J=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 4& 1\\ 0& 0& 0& 4\end{array}\right)$$
Jordan块被初等因子唯一确定，但是Jordan形可以由多个Jordan块构成，因此不唯一（即Jordan块顺序不唯一）。

初等因子确定Jordan块的方法：例如初等因子$(\lambda -1{)}^2$、$(\lambda -4{)}^2$，由于是2次，那么对角线应该出现两次特征值1、4，然后副对角线全部是1即可。

计算方法

Smith形

1. 初等变换

   利用初等变换，将每行化为阶梯型，同时为首1项，系数应为1，后续对角线要满足后一个能够整除前一个。

   举例：

   

   

   注意：每一行首项系数都要是1，前一项是后一项的因子，初等变换可以包括初等行变换和列变换。

2. 行列式因子法

   该方法适用于0较多的情形，因为便于计算行列式因子，因为如果是一个3*3的矩阵，光二阶行列式就需要计算9个，计算量较大。

   计算出每个k阶行列式因子后，利用不变因子和行列式因子的关系，计算出不变因子，然后将对角线写为不变因子，即可构造出Smith标准型。

   

   

Jordan形

1. 利用$\lambda I-A$得到$\lambda$矩阵，求它的各阶行列式因子$D_k(\lambda )$.
2. 根据不变因子的公式，求得不变因子。($d_i(\lambda )=\frac{D_{i+1}(\lambda )}{D_i(\lambda )}$)
3. 根据不变因子获得初等因子。
4. 利用初等因子构造Jordan块，然后组成Jordan形（不唯一）。

可逆P的求法

求一个可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP=J$。

1. 首先求得Jordan形J。

2. 将$P^{-1}AP=J$变为$AP=PJ$。

3. 设$P=(P_1,P_2,\cdots ,P_n)$，构造方程组：
   $$\{\begin{array}{l}A{P}_1=J_{11}{P}_1\\ A{P}_2=J_{12}{P}_2+J_{22}{P}_2\\ \cdots \\ A{P}_n=J(n-1,n)P_{n-1}+J_{nn}{P}_n\end{array}$$
   P取值不唯一，但是一定可逆。

考点

1. 特征多项式和特征值的计算
2. 不变因子和初等因子的计算
3. Jordan标准型的计算
4. 可逆P的计算

参考

矩阵论-戴华

[【矩阵论】Chapter 5—lambda矩阵与Jordan 标准型](【矩阵论】Chapter 5—lambda矩阵与Jordan 标准型_lamda矩阵-CSDN博客)