Leetcode 3352. Count K-Reducible Numbers Less Than N

• Leetcode 3352. Count K-Reducible Numbers Less Than N
  • 1. 解题思路
  • 2. 代码实现

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1. 解题思路

这一题的话思路上我是拆成了两步来做的，首先，我们要认识到，这里的变化本质就是看数的二进制表达当中有多少个1，因此，假设给定数字的二进制表示长度为$n$，我们就是要遍历$1$到$n$当中有多少数能够在至多$k$次变换之后变为$1$，显然$k=1$时，答案就只有$1$，也就是数字只能包含一个二级位为$1$，然后，对于其他的数，我们只需要用一个迭代遍历即可快速获取，整体的复杂度就是$O(kn)$。

然后，剩下的问题就变成了，一直一个数二进制数包含$m$个$1$，请问一共有多少个不大于给定值$s$的数，此时我们用一个动态规划即可完成。

2. 代码实现

给出python代码实现如下：

MOD = 10**9+7

factorials = [1 for _ in range(801)]
for i in range(2, 801):
    factorials[i] = (i * factorials[i-1]) % MOD
revs = [pow(i, -1, mod=MOD) for i in factorials]

@lru_cache(None)
def C(n, m):
    return (factorials[n] * revs[m] * revs[n-m]) % MOD

class Solution:
    def countKReducibleNumbers(self, s: str, k: int) -> int:
        if s == "1":
            return 0
        
        def minus_one(s):
            n = len(s)
            idx = n-1
            while s[idx] == "0":
                idx -= 1
            s = s[:idx] + "0" + "1" * (n-idx-1)
            return s.lstrip("0")
        
        s = minus_one(s)
        n = len(s)
        
        digit_nums = defaultdict(set)
        digit_nums[1] = {1}
        for i in range(2, k+1):
            for j in range(2, n+1):
                if Counter(bin(j))["1"] in digit_nums[i-1]:
                    digit_nums[i].add(j)

        @lru_cache(None)
        def count(idx, ones, allow_large):
            if allow_large:
                return C(n-idx, ones) if n-idx >= ones else 0
            if ones == 0:
                return 1
            if idx >= n:
                return 0
            if allow_large:
                return (count(idx+1, ones-1, allow_large) + count(idx+1, ones, allow_large)) % MOD
            elif s[idx] == "1":
                return (count(idx+1, ones-1, allow_large) + count(idx+1, ones, True)) % MOD
            else:
                return count(idx+1, ones, allow_large)
            
        ans = 0
        for digit_num in digit_nums.values():
            for digit in digit_num:
                ans = (ans + count(0, digit, False)) % MOD
        return ans

提交代码评测得到：耗时1513ms，占用内存438.4MB。