加深深度学习矩阵计算理解--用人类直觉 走进线性代数（非应试）

前言

一、向量

1、向量是什么？
向量是一个在不同学科领域中都有着广泛应用的概念，下面从数学、物理、计算机三个角度对向量进行说明：

①数学角度
定义：向量（vector）又称矢量，在数学中也称为欧几里得向量、几何向量，是既有大小（用一个非负数表示）又有方向的量。向量的大小是代数特征，方向是几何特征。向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段箭头所指的方向表示向量的方向。
表示方法：向量可以用符号来表示，如、或等（手写时常用带箭头的小写字母表示，如）。也可以用有向线段的两个端点来表示，如向量AB（读作AB向量），表示从点A指向点B的向量。此外，在平面直角坐标系或空间直角坐标系中，向量还可以用坐标来表示。
运算：向量可以进行加法、减法、数乘、内积（数量积）、外积（向量积）等运算。这些运算在向量空间理论、线性代数等领域有着广泛的应用。
②物理角度
定义：在物理学中，向量通常被理解为空间中的箭头，由长度和它所指的方向决定。向量可以用来描述力、速度、加速度等物理量。
性质：向量在物理学中具有平移不变性，即只要保持向量的长度和所指的方向不变，向量便保持不变。这一点与数学中的向量定义是一致的。
应用：向量在物理学中有着广泛的应用，如力的合成与分解、速度与加速度的叠加等。这些应用都依赖于向量的加法和数乘运算。
③计算机角度
定义：在计算机科学中，向量通常被看作是有序的列表或数组。每个元素在列表中的位置（索引）和它的值（可以是数字、字符等）共同构成了向量的一个分量。
表示方法：在计算机中，向量通常用数组或列表的数据结构来表示。例如，在Python中，可以使用列表（list）或NumPy库中的数组（ndarray）来表示向量。
运算：计算机中的向量运算通常涉及向量的加法、减法、数乘以及更复杂的运算如点积、叉积等。这些运算可以通过编写程序或使用专门的数学库（如NumPy）来实现。
应用：向量在计算机科学中有着广泛的应用，如机器学习中的特征向量、图像处理中的像素向量、图形学中的顶点向量等。这些应用都依赖于向量的表示和运算能力。

二、线性组合、空间与基

1、线性组合
线性组合是线性代数中的一个基本概念。设a₁, a₂,…, aₑ（e≥1）是域P上线性空间V中的有限个向量，若V中向量a可以表示为：a=k₁a₁+k₂a₂+…+kₑaₑ（kₑ∈P，e=1,2,…,s），则称a是向量组a₁, a₂,…, aₑ的一个线性组合。简单来说，就是一些抽象的向量各自乘上一个标量（实数或复数）后再相加得到的向量。

2、空间

在数学和物理学中，空间通常被理解为具有某种结构的集合，这种结构可以是线性的、拓扑的、度量的等。在线性代数中，空间通常指的是向量空间，它是一个定义了加法和数乘运算的向量集合。

3、基

在数学中，基通常指的是构成某个向量空间的一组线性无关的向量组，这组向量组可以线性表示该空间中的任何一个向量。

在线性代数中，基向量（或基）是向量空间的一组线性无关的向量，它们可以线性表示该空间中的任何一个向量。基向量的数量称为向量空间的维数。

三、矩阵和线性变换

1、矩阵
定义：矩阵是一个按照矩形阵列排列的复数或实数集合，由行和列组成。矩阵通常用大写字母表示，如A、B等，其元素或元通常用aij表示，代表矩阵A中第i行第j列的元素。矩阵的维度由它的行数和列数决定，记作m×n，其中m是行数，n是列数，m和n不一定相等。
特殊类型：
零矩阵：所有元素都为0的矩阵。
**方阵：**行数和列数相等的矩阵，即n行n列的矩阵称为n阶方阵。
对角矩阵：除主对角线（从左上角到右下角的对角线）上的元素外，其余元素都为0的方阵。
行矩阵（行向量）：只有一行，但可以有多列的矩阵。
列矩阵（列向量）：只有一列，但可以有多行的矩阵。
运算： 矩阵具有加法、减法、数乘（标量乘法）和乘法（矩阵乘法）等基本运算。
2、线性变换
定义： 线性变换是线性代数中的一个重要概念，指的是从向量空间V到向量空间W的一个映射T，它满足以下两个条件：
加法性：对于V中的任意两个向量u和v，有T(u+v) = T(u) + T(v)。
数乘性：对于V中的任意向量u和任意标量k，有T(ku) = kT(u)。
表示： 线性变换可以通过矩阵来表示。设V和W分别是m维和n维的向量空间，T是从V到W的线性变换，那么存在一个m×n的矩阵A，使得对于V中的任意向量v，都有T(v) = Av，其中A是线性变换T的矩阵表示，v是V中的向量，Av是W中的向量。
性质： 线性变换保持向量的线性关系不变，即变换后的向量仍然满足原来的线性关系。例如，如果两个向量u和v在变换前是线性相关的，那么它们在变换后仍然是线性相关的。
应用： 线性变换在物理学、工程学、计算机科学等领域中有着广泛的应用。例如，在物理学中，线性变换可以用来描述力学系统、电磁场等；在工程学中，线性变换可以用来进行信号处理、图像处理等；在计算机科学中，线性变换可以用来进行机器学习、数据压缩等。
综上所述，矩阵和线性变换是线性代数中的两个基本概念，它们具有广泛的应用和重要的意义。

变换后：①直线仍然是直线②原点不变（变了就是仿射变换） 才是线性变换。
线性变换看成对空间的挤压伸展。
矩阵乘法看成若干列向量的线性变换，看成空间变换。

四、矩阵乘法与线性变化复合

矩阵乘法与线性变换复合之间存在直觉上的紧密联系。以下是对这两者之间关联的详细解释：

1、矩阵乘法代表线性变换的复合

定义上的联系：
矩阵乘法：描述了一个变换之后再进行另一个变换的过程。这个新线性变换通常被称为前两个独立变换的复合变换。
线性变换复合：指的是先进行一个线性变换，然后再进行另一个线性变换，得到的结果可以看作是一个新的线性变换。
几何解释：
矩阵乘法可以看作是对空间进行了一系列的线性变换。例如，一个2x2矩阵可以看作是对二维空间进行了一次线性变换，如旋转、缩放或剪切等。当两个这样的矩阵相乘时，它们的乘积矩阵可以看作是先进行第一个矩阵所代表的变换，再进行第二个矩阵所代表的变换的复合变换。
从几何角度来看，矩阵乘法是按照从右到左的顺序执行线性变换的。即，如果有一个向量x，先经过矩阵M1变换得到M1x，再经过矩阵M2变换得到M2(M1x)，那么这个过程等价于向量x直接经过M1和M2的乘积矩阵M2M1的变换。

2、实例说明

考虑一个二维空间中的向量，它经过一个2x2矩阵M1的变换后，再经过另一个2x2矩阵M2的变换。这个过程可以表示为：

先进行M1变换：v’ = M1v
再进行M2变换：v’’ = M2v’ = M2(M1v) = (M2M1)v
其中，v是原始向量，v’是经过M1变换后的向量，v’'是经过M2和M1复合变换后的向量。可以看出，这个过程等价于向量v直接经过矩阵M2M1的变换。

因此，矩阵乘法可以直觉地看作是线性变换的复合。这种复合变换保持了线性变换的性质，如加法性和数乘性。同时，矩阵乘法也为我们提供了一种方便的工具来描述和分析复杂的线性变换过程。

五、三维空间的线性变换

1、基本性质

线性关系保持：线性变换保持向量之间的线性关系不变。这意味着，如果两个向量在变换前是线性相关的（例如，它们是共线的或平行的），那么它们在变换后仍然是线性相关的。
原点位置不变：在三维空间中，线性变换不会改变原点的位置。原点始终是变换前后的固定点。
基向量变换：线性变换可以通过它对基向量的作用来描述。在三维空间中，通常选择三个线性无关的向量（例如，i、j、k方向的单位向量）作为基向量。线性变换将这三个基向量分别变换为新的向量，这些新的向量定义了变换后的空间。

2、直觉理解

缩放：想象一下，你有一个三维的立方体。现在，你沿着某个方向（例如，x轴方向）将其拉长或缩短。这个操作就是一个线性变换，它保持了立方体的形状（即各边之间的比例关系），但改变了其大小。
旋转：现在，你抓住立方体的一个角，并围绕原点旋转它。这个旋转操作也是一个线性变换。它改变了立方体的方向，但保持了立方体的形状和大小不变。
剪切：假设你有一个三维的盒子，并且你想让它在某个方向上变得“倾斜”。这可以通过一个剪切变换来实现。剪切变换会改变盒子各边之间的角度，但通常不会改变盒子的大小或形状（在某种意义上，它保持了“体积”的某种不变性，尽管这不是严格的数学定义）。
组合变换：你可以将上述变换中的任意两个或多个组合起来，形成一个更复杂的线性变换。例如，你可以先旋转一个立方体，然后再缩放它。这个组合变换将保持立方体的某些线性关系（如边的比例关系在缩放后仍然保持），但会改变它的方向、大小和形状。

3、矩阵表示

在三维空间中，每个线性变换都可以用一个3x3的矩阵来表示。这个矩阵的每一行都对应着变换后空间中的一个基向量（相对于原始空间的基向量）。因此，你可以通过查看这个矩阵的每一行来直观地理解线性变换对空间的影响。

六、行列式

一、行列式的定义

行列式是一个函数，其定义域为n阶方阵A，取值为一个标量，通常写作det(A)或|A|。具体来说，对于一个n阶方阵A，其行列式是一个按照一定规则计算出来的实数或复数，它反映了方阵A的某种性质。行列式的计算规则包括按行展开、按列展开、代数余子式等方法。

2、行列式在空间中的抽象理解

体积的变化：
在二维空间中，二阶行列式代表了由其列（或行）向量形成的平行四边形的面积。如果行列式的值为正，则表示变换后的面积相对于原面积有所扩大或缩小，且保持了原有的方向性（例如，不改变图形的朝向）；如果行列式的值为负，则表示变换导致了方向性的反转（例如，图形被翻转了）。
在三维空间中，三阶行列式代表了由其列向量形成的平行六面体的体积。同样地，行列式的值反映了变换后体积的变化以及方向性的保持或反转。
线性变换的效果：
行列式可以量化地描述线性变换对空间的影响。例如，一个可逆矩阵的行列式不为零，表示该矩阵所代表的线性变换能够在空间中进行一种“全尺寸”变换，而不会丢失任何维度。相反，一个不可逆矩阵（奇异矩阵）的行列式为零，表示该矩阵所代表的线性变换将空间降维了（例如，将三维空间降维为二维空间或更低）。
通过行列式，我们可以判断一个矩阵是否可逆，以及预测线性方程组是否有解以及解的性质。在克莱姆法则中，行列式被用来直接计算线性方程组的解。
几何意义的推广：
对于更高维度的空间，行列式同样代表了由相应维度的向量形成的“超体积”。这种“超体积”的概念在理解高维空间中的线性变换时非常有用。
行列式的正负号还可以帮助我们理解空间结构的方向性。在物理学中，这尤为重要，例如在研究镜像反射或旋转时。

测量面积的缩放比例

值为0说明被压缩成一根线，降低维度了。负数表示这个变换改变了空间的定向。

七、逆矩阵 列空间秩 零空间

一、矩阵
矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，由行和列组成。在数学中，矩阵是一个非常重要的概念，它被广泛应用于线性代数、物理学、工程学、计算机科学等领域。矩阵通常用大写字母表示，如A、B等，其元素或元通常用aij表示，代表矩阵A中第i行第j列的元素。

二、列空间
列空间（Column Space）是矩阵A的各列的线性组合的集合，记为ColA。它是向量空间的一个子空间，由矩阵的主元列构成。在解决形如Ax=b的线性方程组时，列空间表示的是所有可能的解的集合（当b在列空间中时）。列空间的维数（或秩）决定了矩阵A能表示多少个线性无关的向量。

三、秩
秩（Rank）是矩阵的一个重要属性，它表示矩阵列空间的维数，也等于矩阵行空间的维数（对于任何矩阵，其行秩等于列秩）。秩还可以解释为矩阵中最大的非零子式的阶数。满秩矩阵是指秩等于其行数和列数中较小值的矩阵。

四、零空间
零空间（Null Space）或核空间（Kernel Space）是齐次方程Ax=0的所有解的集合，记为NulA。它也是向量空间的一个子空间，由Ax=0的解构成。在几何上，零空间表示的是经过矩阵A的线性变换后落在原点的所有向量的集合。零空间的维数（也称为零化度）与矩阵的秩有直接关系，根据秩-零化度定理，任何矩阵的秩加上它的零化度等于这个矩阵的列数。

乘积是单位矩阵。

八、非方阵

在非方阵的上下文中，基向量的概念与在方阵情况下有所不同，但核心思想仍然相同：基向量是用于描述向量空间中所有其他向量的基本构建块。然而，当我们谈论非方阵时，我们通常指的是行数和列数不相等的矩阵，这引入了额外的复杂性和不同的视角。

1. 矩阵与向量空间
   首先，要明确的是，矩阵本身并不直接定义向量空间，但它可以与向量空间相关联。特别是，一个m×n矩阵A可以将n维向量空间中的向量映射到m维向量空间。这里，n是矩阵A的列数，m是行数。

2. 列空间与基向量
   对于非方阵A，其列空间是由A的列向量生成的向量空间的一个子空间。这个子空间的维数（即列空间的秩）可能小于n（矩阵的列数）。在列空间中，存在一组线性无关的列向量，它们可以作为列空间的基向量。这些基向量能够线性组合成列空间中的任何向量。

3. 行空间与基向量
   类似地，非方阵A的行空间是由A的行向量生成的向量空间的一个子空间。这个子空间的维数（即行空间的秩）可能小于m（矩阵的行数）。在行空间中，也存在一组线性无关的行向量（尽管我们通常通过转置矩阵来考虑这些行向量作为列向量），它们可以作为行空间的基向量。

4. 非方阵的特殊情况
   m>n（行数多于列数）：在这种情况下，列空间是n维空间的一个子空间，而行空间可能是m维空间中的一个更低维的子空间。由于列数较少，列空间的基向量数量不会超过n。
   m<n（行数少于列数）：在这种情况下，行空间是m维空间的一个子空间，而列空间可能是n维空间中的一个更高维（但不超过m维）的子空间。然而，由于行数较少，行空间的基向量数量不会超过m。

5. 基向量的选择
   对于非方阵，基向量的选择并不是唯一的。在列空间中，任何一组线性无关的列向量都可以作为基向量。同样，在行空间中，任何一组线性无关的行向量（考虑转置后的列向量）也可以作为基向量。

6. 实际应用
   在实际应用中，非方阵经常用于表示线性变换、投影、优化问题等。在这些情况下，理解列空间和行空间的基向量对于分析问题的性质和解决方案至关重要。

九、点积和对偶性

一、点积
定义：
点积（也称为内积或数量积）是指两个相同维数的向量或两个相同长度的数组进行的一种运算。运算的具体过程是，将两个向量的相应坐标配对，求出每一对的乘积，然后将所有乘积相加。

计算公式：
设两个向量分别为A和B，其坐标分别为(a1, a2, …, an)和(b1, b2, …, bn)，则它们的点积为：

A·B = a1b1 + a2b2 + … + anbn

几何意义：
一个向量在另一个向量上的正交投影长度乘以另一个向量的长度。
向量方向相同时，点积结果为正；方向相反时，结果为负；垂直时，结果为0。
性质：
交换律：A·B = B·A
分配律：(A+B)·C = A·C + B·C
数乘结合律：(kA)·B = k(A·B)，其中k为标量
二、对偶性
定义：
对偶性在数学和物理学中是一个重要的概念，它描述的是表面上不同的理论或表达式之间，如果存在某种对应关系，这种关系能够导致相同的物理结果或数学结论，则称这些理论或表达式具有对偶性。

线性代数中的对偶性：
在线性代数中，对偶性通常与向量空间和矩阵的运算有关。
例如，一个向量可以看作是一个1×n矩阵（行向量），而它的转置就是一个n×1矩阵（列向量）。这两者之间存在对偶关系，因为它们的运算在某些情况下是等价的。
另一个例子是，二维空间到数轴的线性变换可以看作是一个1×2矩阵与二维向量的乘积，这个乘积也可以理解为向量与某个二维向量的点积。因此，这个线性变换与点积之间存在对偶关系。
应用：
对偶性在信号与系统理论中有所体现，如傅里叶变换中的对偶性。
在线性规划中，每一个规划问题都存在一个与它相关的对偶问题。原问题中的约束条件的个数等于对偶问题的变量的个数；原问题中变量的个数等于对偶问题中约束条件的个数。互为对偶的问题，若一个问题存在最优值，则另一个问题也存在最优值，且两个问题的目标函数最优值相等。

顺序无关性

十、以线性变化的眼光看叉积

一、叉积的基本概念
叉积（也称为向量积、外积）是线性代数中的一种运算，它接受两个三维向量作为输入，并输出一个与这两个向量都垂直的新向量。这个新向量的长度等于输入向量张成的平行四边形的面积，方向则垂直于这个平行四边形，并满足右手定则。

二、叉积的线性变换视角
线性变换的定义：
线性变换是一种保持向量加法和数乘运算封闭的变换。也就是说，如果T是一个线性变换，那么对于任意的向量v和w，以及任意的标量k，都有T(v+w) = T(v) + T(w)和T(kv) = kT(v)。

叉积作为线性变换：
叉积可以看作是一种特殊的线性变换。这个变换的输入是两个三维向量v和w，输出是一个与v和w都垂直的新向量p。这个变换保持了向量的线性关系，即如果v和w是线性相关的（例如共线），那么它们的叉积p将是零向量（因为平行四边形的面积为0）。

叉积的几何意义：
从几何意义上看，叉积的结果向量p的长度等于v和w张成的平行四边形的面积，方向则垂直于这个平行四边形。这个性质使得叉积在物理学和工程学中有广泛的应用，例如计算力矩、角速度等。

叉积与行列式的关系：
叉积的计算可以通过行列式来实现。具体来说，如果将v和w的坐标作为矩阵的两列，然后计算这个2×3矩阵的行列式的绝对值（注意这里不是严格的3×3矩阵行列式），就可以得到v和w张成的平行四边形的面积（即叉积的模长）。然而，这种方法只能得到模长，不能得到叉积的方向。为了得到方向，需要使用右手定则来确定。

叉积的对偶性：
在线性代数中，对偶性是一个重要的概念。它指的是从一个空间到另一个空间的线性变换与这个变换的对偶向量之间的关系。对于叉积来说，可以将其看作是从三维空间到一维数轴的线性变换的对偶向量。这个对偶向量就是叉积的结果向量p，它垂直于输入向量v和w所张成的平面。

右手定则方向（叉积是一个垂直平行四边形的向量）

十一、基变换

1、基变换的概念

基变换是指将向量从一个基（或坐标系）转换到另一个基的过程。在线性代数中，向量空间中的每一个向量都可以由该空间的一组基向量线性表示。当我们改变这组基向量时，向量的坐标也会相应地发生变化，这就是基变换。

2、矩阵乘法的本质

矩阵乘法在本质上是线性变换的表示。具体来说，一个矩阵可以看作是一个线性变换的“蓝图”，它描述了如何将一个向量（或一组向量）从一个坐标系变换到另一个坐标系。当我们将一个向量与一个矩阵相乘时，实际上就是在执行这个线性变换，得到变换后的向量。

3、基变换与矩阵乘法的联系

过渡矩阵：
在基变换中，我们需要一个矩阵来描述新旧基向量之间的线性关系。这个矩阵通常被称为过渡矩阵。
过渡矩阵的列向量是新基向量在原基下的坐标表示。
矩阵乘法实现基变换：
设原基为{v1, v2, …, vn}，新基为{w1, w2, …, wn}，过渡矩阵为P，则P的列向量就是{w1, w2, …, wn}在原基{v1, v2, …, vn}下的坐标。
对于原基下的一个向量a，其在新基下的坐标可以通过矩阵乘法Pa得到。这里，a是原基下的坐标向量，Pa则是新基下的坐标向量。
几何意义：
从几何角度来看，矩阵乘法可以看作是对向量进行旋转、拉伸、压缩等线性变换的过程。而基变换则是这些线性变换的一种特殊情况，它改变了向量的坐标系。

4、实例说明

假设有一个二维向量空间，原基为{(1,0), (0,1)}，新基为{(1,1), (1,-1)}。现在有一个向量a在原基下的坐标为(2,3)。

首先，我们构造过渡矩阵P：
P = [(1,1), (1,-1)]

即P的列向量是新基向量在原基下的坐标。

然后，我们用矩阵乘法计算向量a在新基下的坐标：
Pa = [(1,1), (1,-1)] * (2,3) = (2+3, 2-3) = (5,-1)

所以，向量a在新基下的坐标为(5,-1)。

基变换矩阵

十二、特征向量和特征值

一、特征向量和特征值在矩阵乘法中的角色

矩阵乘法的直观理解：
当一个矩阵A左乘一个向量α时，可以看作是对向量α进行了一次线性变换。这个变换的结果是一个新的向量β，即β = Aα。
从特征向量和特征值的角度来看，这个变换可以解释为：向量α在A的特征向量上进行分解，然后在每个分量坐标上做了一个尺度为相应特征值的伸缩变换，最后得到变换后的新向量β。
特征向量和特征值的定义：
特征向量：设A是n阶方阵，如果存在一个非零向量x和标量λ，使得Ax = λx，则称x是A的一个特征向量，λ是A的对应于x的特征值。
特征值：对应于特征向量的标量λ。
矩阵乘法的特征值分解：
任意n阶方阵A都可以进行特征值分解，即A = PVP^(-1)，其中P是由A的特征向量组成的矩阵，V是由A的特征值构成的对角矩阵。
这个分解揭示了矩阵乘法的一种本质：矩阵A左乘一个向量，实际上是将该向量在A的特征向量空间中进行伸缩变换，变换的比例由对应的特征值决定。

二、特征向量和特征值在线性变换中的角色

线性变换的定义：
线性变换是线性空间中的一种基本变换，它保持向量的加法和数乘运算不变。
在二维或三维空间中，线性变换可以看作是对图形进行旋转、拉伸、压缩或反射等操作。
特征向量和特征值在线性变换中的意义：
特征向量：在线性变换中，方向不变的向量被称为特征向量。这意味着，当对特征向量进行线性变换时，它只会改变大小（即伸缩），而不会改变方向。
特征值：对应于特征向量的伸缩比例被称为特征值。它表示在线性变换中，特征向量被拉伸或压缩的倍数。
线性变换的几何意义：
通过特征向量和特征值，我们可以更直观地理解线性变换的几何意义。例如，在二维空间中，一个线性变换可以看作是对图形进行旋转和伸缩的操作。其中，旋转的角度和伸缩的比例由矩阵的特征向量和特征值决定。
综上所述，特征向量和特征值在矩阵乘法和线性变换中扮演着至关重要的角色。它们不仅揭示了矩阵乘法的本质和线性变换的几何意义，还为我们提供了一种理解和分析复杂线性变换的有效工具。

旋转特征值为1。



如果基向量都是特征向量？

十三、抽象向量空间

线性（可加性+成比例）
抽象向量空间，也称为线性空间，是线性代数的中心内容和基本概念之一。以下是对抽象向量空间的详细解释：

1、定义与基本概念
定义：
抽象向量空间是一个带有加法和标量乘法的集合V。在这个集合中，元素被称为向量或点。加法是一个函数，将每一对向量u, v∈V都对应到V的一个元素u+v；标量乘法也是一个函数，将任意标量λ（属于某个域F，如实数域或复数域）和向量v∈V都对应到V的一个元素λv。

基本概念：
域：域F是一个包含加法和乘法的非空集合，且满足交换律、结合律、分配律等性质。
向量：向量是向量空间V中的元素。
加法：向量空间中的加法满足交换律、结合律，存在零向量，且每个向量都有唯一的负向量。
标量乘法：标量乘法满足分配律、结合律（对标量的结合），且单位元1乘以任何向量等于该向量本身。
2、性质与特点
封闭性：向量空间中的加法和标量乘法都是封闭的，即结果仍在向量空间中。
结合律与交换律：加法和标量乘法都满足结合律和交换律（加法还满足向量的交换律）。
分配律：标量乘法对加法满足分配律。
零向量与负向量：存在唯一的零向量，且每个向量都有唯一的负向量。

3、实例与拓展
实例：
实数域上的n维向量空间：这是最常见的向量空间之一，其中的向量是n个实数的有序组。
函数空间：由满足一定条件的函数构成的集合，如连续函数空间、多项式函数空间等。在这些空间中，函数被视为向量，函数的加法和标量乘法按照通常的函数运算进行。
拓展：
无限维向量空间：除了有限维向量空间外，还可以定义无限维向量空间，如序列空间、函数空间等。这些空间在泛函分析等领域有重要的应用。
内积空间与度量空间：在向量空间中引入内积或度量，可以进一步定义向量的长度、夹角等概念，并研究向量空间的几何性质。
综上所述，抽象向量空间是线性代数的核心概念之一，它提供了一种统一的框架来描述和分析不同领域的向量和线性变换。通过学习和理解抽象向量空间的概念和性质，我们可以更好地应用线性代数的方法来解决实际问题。

十四、克莱姆法则–求解线性方程组

虽然高斯消元法更快
行列式不为0 ，矩阵不降维。

不改变点积的变换–正交变换。
克莱姆法则求解线性方程组示例
克莱姆法则（Cramer’s Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理，适用于变量和方程数目相等的线性方程组。以下是一个使用克莱姆法则求解三元一次线性方程组的示例：

克莱姆法则与高斯消元法的比较

适用场景：
克莱姆法则：适用于变量和方程数目相等的线性方程组，且系数行列式不为零的情况。当方程组规模较小时，克莱姆法则可以直接给出解，且解的表达式清晰。
高斯消元法：适用于任意规模的线性方程组，无论变量和方程数目是否相等。高斯消元法通过对方程组进行初等行变换，将其化为阶梯形方程组，从而求解。
计算复杂度：
克莱姆法则：计算复杂度较高，需要计算n+1个n阶行列式（n为方程组中变量的个数），因此当n较大时，计算量会非常大。
高斯消元法：计算复杂度相对较低，特别是对于稀疏矩阵（即大部分元素为零的矩阵），高斯消元法可以通过优化算法减少计算量。此外，高斯消元法还可以处理方程组无解或有无穷多解的情况。
数值稳定性：
克莱姆法则：在数值计算中，克莱姆法则可能会因为行列式的计算而产生较大的舍入误差，导致解的精度降低。
高斯消元法：通过选择主元（即每列中绝对值最大的元素）并进行行交换，高斯消元法可以在一定程度上减少舍入误差，提高解的精度。此外，还可以采用部分选主元或全选主元的方法来进一步提高数值稳定性。
实现难度：
克莱姆法则：实现起来相对简单，只需要计算行列式并进行除法运算即可。
高斯消元法：实现起来稍微复杂一些，需要对方程组进行初等行变换，并处理可能出现的无解或有无穷多解的情况。但是，高斯消元法的算法实现已经相对成熟，并且有许多现成的数值计算库可以调用。
综上所述，克莱姆法则和高斯消元法各有优缺点，适用于不同的场景和需求。在实际应用中，可以根据方程组的规模、精度要求以及计算资源等因素来选择合适的求解方法。