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贝叶斯网络——基于概率的图模型（详解）

article 2024/11/17 3:29:03

贝叶斯网络（Bayesian Network，简称BN）是一种基于概率图模型的表示方法，用于表示变量之间的依赖关系，并通过条件概率推断变量间的关系。它通过有向无环图（DAG）来描述变量之间的依赖关系，其中每个节点表示一个随机变量，边表示变量之间的条件依赖关系。

基本概念

有向无环图（DAG）：

叶斯网络由一个有向无环图组成，其中每个节点通过有向边与其他节点相连。边的方向表示一个变量对另一个变量的条件依赖关系，且没有环路，即图中不存在从一个节点回到其本身的路径。

专家知识

专家知识可以理解为一系列定理或者已知结论，主要用于确定变量间的依赖关系。比如，根据科学知识，X影响Y，我们可以确定依赖关系： X→Y

条件依赖：

图中的边表示变量之间的条件依赖关系。如果节点A指向节点B，则节点B的值在已知节点A的条件下依赖于节点A的值。节点B的值与其父节点的值之间的关系通常通过条件概率分布（CPD）来描述。

依赖关系举例：A→B，A→C，B→C，B→A，C→A，C→B等等。

条件概率表（CPT）：

每个节点都有一个条件概率表，用来描述该节点在给定其父节点条件下的概率分布。如果一个节点没有父节点（即是根节点），那么它的条件概率表就是其边缘分布。

主要步骤

（一）随机变量的选择与定义

每个变量通常代表一个特征或事件，可能是离散的也可能是连续的。比如在医疗诊断中，变量可以是症状、疾病或治疗效果等。

举个例子：

目标：目标是评估一个人的信用风险（是否违约）。

基本变量（特征变量）：

信用历史（C）：个人的信用历史是否良好（好/差）
收入水平（A）：借款人的收入水平（高/低）
债务比率（D）：借款人债务与收入的比例（低/高）
负债历史（L）：借款人是否有过欠款记录（有/没有）
工作稳定性（W）：借款人是否有稳定的工作（有/没有）
等等

目标变量：

违约风险（R）：借款人是否有违约的风险（是/否）。

（二）学习网络结构

若没有专家知识，我们要确定变量间的依赖关系、并构建贝叶斯网络结构，就要从数据中去学习他们的关系，构建网络结构。

贝叶斯网络的核心部分是通过图结构表示变量之间的依赖关系。每个节点表示一个随机变量，边则表示一个条件依赖关系。

父节点与子节点：在图中，每个节点（变量）可能依赖于其他节点。通过“父节点”和“子节点”来描述依赖关系。父节点影响子节点的取值，子节点的值受到父节点的条件概率影响。
无环性：贝叶斯网络的图结构是有向无环图（DAG），即图中不存在回路。这保证了从某个节点出发无法沿着边回到同一个节点。
条件独立性假设：对于每个节点，条件独立性假设表明，节点在给定其父节点条件下，与其他未直接连接的节点是条件独立的。例如，如果变量A→B，而B→C，则在给定B的情况下，A和C是条件独立的。

学习贝叶斯网络的结构通常有两个步骤：结构学习和参数学习。

结构学习

        这一步骤的目标是从数据中推断出最佳的网络结构，即确定哪些变量是相互依赖的，通过某些方法选择合适的有向边，构建出网络结构。结构学习主要方法如下：

评分搜索方法（通常与贪心算法结合一起用）：

其核心思想是通过计算每种可能边（或依赖关系）的“评分”，并选择得分最高的边，逐步构建网络结构。评分方法通过比较不同结构的好坏来搜索最佳网络结构。最常见的评分函数有：

对数似然：对数似然是基于给定数据的条件概率计算出的值。其值越高，说明网络结构对数据的拟合越好。对数似然函数：log⁡P(D∣G)，其中 D 是观测数据，G 是网络结构，表示数据在给定结构下的条件概率。

贝叶斯信息准则（BIC）：BIC是考虑模型复杂度的评分函数，它在对数似然上增加了一个惩罚项，避免过度拟合。BIC的公式是： $BIC = -2 \log P(D | G) + k \log(N)$ ，其中，k 是网络中参数的数量，N 是样本量。较低的BIC值表示较优的模型。

约束搜索方法：

        与贪心算法不同，约束方法通过统计检验来推断节点之间的独立性，从而确定哪些边应当存在。约束方法的边选择不是基于评分函数的，而是基于条件独立性测试的结果。

PC算法：首先初始化空网络，假设所有的变量之间都有边。然后通过一系列的条件独立性测试逐步去除不必要的边。具体来说，对于每对节点 X 和 Y，PC算法会测试它们在其他节点条件下是否独立。如果测试结果是独立的，则去掉这条边。

启发式搜索方法：

        启发式搜索方法采用随机化搜索的策略，目的是避免陷入局部最优解。与贪心算法类似，启发式方法也会逐步探索可能的边，但它们允许一定程度的“跳跃”，以避免陷入局部最优。

模拟退火：模拟退火是一个全局优化方法，可以避免贪心算法可能陷入局部最优解。它通过模拟物理过程中的退火过程，逐步降低系统的能量（类似于网络评分的最小化）。在搜索过程中，模拟退火允许某些不太优的选择，以此来跳出局部最优。

遗传算法：遗传算法通过模拟自然选择过程来寻找最优网络结构。首先，生成一组网络结构（种群），然后通过交叉和变异操作生成新的一代网络。每一代的网络结构都通过评分函数进行评估，优胜者会“繁殖”出下一代。

参数学习

当网络结构确定后，下一步是计算每个节点的条件概率表（CPT，Conditional Probability Table）。对于离散变量，通常使用最大似然估计（MLE）来计算条件概率；对于连续变量，则可以使用贝叶斯估计或最大似然估计（MLE）来拟合分布参数。

贝叶斯估计、最大似然估计（MLE）在后面的例子会讲。

（三）模型评估

建立了贝叶斯网络之后，还需要通过模型验证来评估其性能。这可以通过交叉验证等方法进行，以确保贝叶斯网络在未知数据上的表现良好。

违约风险评估的贝叶斯网络模型(示例)

假设我们有一组银行用户的数据，包含了多个特征，用于评估每个用户的违约风险。我们希望通过学习贝叶斯网络的结构和参数来预测用户是否会违约。贝叶斯网络将帮助我们理解特征之间的关系，并通过学习数据中的条件概率来进行预测。

（1）数据定义（数据准备）

目标变量：

是否违约（Default）：目标变量，用户是否违约，离散变量（是/否）

特征变量：

收入（Income）：用户的年收入，通常是连续变量。
信用分数（CreditScore）：用户的信用评分，通常是离散变量。
负债比率（DebtRatio）：用户的负债占收入的比例，通常是连续变量。
婚姻状况（MaritalStatus）：用户的婚姻状况，离散变量（已婚、未婚、离异等）。
历史违约（PastDefault）：用户过去是否有违约记录，离散变量（有违约、无违约）。
贷款金额（LoanAmount）：用户申请的贷款金额，连续变量。

（2）结构学习

我们首先需要确定特征之间的依赖关系。在没有专家知识的情况下，我们可以使用数据驱动的方法来学习贝叶斯网络的结构。使用评分搜索方法与贪心算法学习网络结构：

初始步骤

从一个空网络开始，所有变量之间没有任何边。

第一轮：

比较所有变量之间的依赖关系，计算每条边的评分（使用BIC示例）。例如：

Income→DebtRatio ，计算P(Income,DebtRatio)的评分
P(CreditScore,Default)的评分
P(Income,Default)的评分
......
选择评分最高的一条边，假设是Income→DebtRatio，表示收入影响负债比率。

贝叶斯信息准则（BIC）

评分公式： $BIC = -2 \log P(D | G) + k \log(N)$

其中，log⁡P(D∣G)，其中 D 是观测数据，G 是网络结构，N为样本量，k是网络中参数的数量

目标：求解出对数似然函数log⁡P(D∣G)，再求BIC

对于离散型数据（基于MLE极大似然估计求解）

对于每一个节点Xi，给定其父节点 $\text{Pa}(X_i)$ 的条件概率计算式为：

对每一个节点Xi，上式连乘，得到似然函数 P(D∣G)计算式：

最后得出BIC评分： $BIC = -2 \log P(D | G) + k \log(N)$

对于连续型数据（基于MLE极大似然估计求解）

对于连续型数据，假设节点 Xi 给定其父节点 $\text{Pa}(X_i)$ 服从某个已知的分布，常见的假设是条件分布为高斯分布。对于每一个节点Xi，给定其父节点 $\text{Pa}(X_i)$ 的条件概率计算式为：

其中：

对每一个节点Xi，得到似然函数 P(D∣G)计算式：

最后得出BIC评分： $BIC = -2 \log P(D | G) + k \log(N)$

第二轮：

更新网络，加入这条边后，计算其他可能的边的评分。例如：

CreditScore→Default ， P(CreditScore,Default)的评分
P(DebtRatio,Default)的评分
P(MaritalStatus,DebtRatio)的评分
等等
选择评分最优的边，假设是 DebtRatio→Default，表示负债比率影响违约风险。

后续轮次：

持续进行边的选择和添加，直到所有可能的依赖关系都被评估过，并且没有更好的边可添加。最后得到一个网络结构（可能是局部最优网络结构）。

贪心算法优点：

计算效率高：与全局搜索方法相比，贪心算法的计算量较小，适合大数据集。

简单易理解：贪心算法结构简单，实现起来相对容易。

贪心算法缺点：

可能陷入局部最优：贪心算法只考虑当前步骤最优的选择，容易陷入局部最优解，无法保证得到全局最优的网络结构。为了避免局部最优解，可以通过多次随机初始化并选择最优解来改善这一点。