半导体器件与物理篇3 P-N结

热平衡时的PN结

pn结的定义：由p型半导体和n型半导体接触形成的结

pn结的特性和关键变量包括：整流性（即电流单向导通的特性）、平衡费米能级（费米能级$E_F$为常数,$\frac{d{E}_F}{dx}=0）、内建电势$V_{bi}、空间电荷区（亦称为耗尽层）

我们将从这些性质入手，由浅入深、从定性到定量的角度去探讨pn结

PN结特性1：整流性

pn结的整流性，即只允许电流单向导通

pn结特性2:费米能级$E_F$为常数，即$\frac{d{E}_F}{dx}=0$

产生原因：在热平衡时，也就是在给定温度之下，没有任何外界扰动，流经pn结的电子电流和空穴电流都为零。因此，对于每一种载流子，电场造成的漂移电流必须与浓度梯度引起的扩散电流完全抵消

关键公式：$$\frac{d{E}_F}{dx}=0$$

由公式可以得到：在热平衡时，PN结内部的费米能级相同

（PS:能带图在保证各自的费米能级相同时，导带底部和价带顶部会进行一个渐变的变化）

pn结特性3：内建电势$V_{bi}$

内建电势$V_{bi}$的推导思路

我们现在理一下思路。假如现在有两块半导体a和b，全部都是本征半导体。
a和b拼在一起则电势差为零，也没有了内建电势。
那什么时候有电势差呢？

我对半导体a掺入了受主杂质，使其空穴浓度迅猛增加；此时我即使不对b进行操作，a中的电势也会下降。为什么电视会下降呢？

因为a中的空穴太多，就会扩散到b中。
本来a和b都是平衡的，但这个时候b那一侧因为扩散而有了更多的空穴，于是带了正电。

这个时候如果我再把正电荷从半导体a搬运到半导体b，则需要克服这部分正电荷产生的电场力。
电势差这不就产生了吗。

同样我们页可以知道，当半导体a掺入越多的受主杂质，除了电离产生的空穴越来越多，其费米能级$E_F$也会越接近价带，并越偏离本征费米能级$E_i$。
此可以通过半导体a的$(E_i-E_F)$间接算出半导体a这一侧的电势${\psi }_p$。

往a中掺入受主杂质还不够，我还往半导体b中掺入施主杂质，使b中充满了电离产生的自由电子。
那么，同理也会使半导体b的电势${\psi }_n$上升。

用同样的方法算出b侧的电势，两者相减不就得到了两块半导体之间的内间电势（差）了吗？

其他科学家已经帮我们把$(E_i-E_F)$和${\psi }_n和{\psi }_p$的关系式求好了，我们拿来用就行：$${\psi }_p=-\frac{q}{q}(E_i-E_F)$$
心动不如行动，我们这就立刻开始进行求解。

内建电势$V_{bi}$的推导过程

1.我们先列出包含$(E_i-E_F)$的表达式，恰巧我知道一个，就是p区和n区各自多子的浓度表达式：$$p区多子浓度p=n_{i}exp(\frac{E_i-E_F}{kT}$$
p区和n区的少子浓度，我们先假设为0

对p区的多子浓度表达式进行换算，得到：$$E_i-E_F=kTln\frac{p}{n_i}$$

我们来分析一下上面这个式子中。
kT是温度，室温下为300K(以开)；本征载流子浓度$n_i=9.65\times 10^{9}c{m}^{-3}$
你问我$n_i$怎么来的？我带你回顾一下《半导体器件与物理篇1 热平衡时能带和载流子浓度》中的表格吧：

同时一些室温下(300K)重要的常数需要牢记：

那有哪些变量是未知的呢？
载流子浓度$p$呀！！！

所以第二步，我们就要把这不好直接看出来的这个载流子浓度$p$，转变成我们可以看出来的变量。
比如说，我们对这块半导体掺入了多少杂质（$N_A和N_D$）

2.于是，让我们翻找一下，有哪个公式既包含了载流子浓度，有包含了$N_A和N_D$呢？
已知泊松方程式：$$\frac{d^2\psi }{d{x}^2}=\frac{dE}{dx}=\frac{{\rho }_s}{{\epsilon }_s}=\frac{q(p-n+N_D^{+}-N_A^{-}}{{\epsilon }_s}$$

由空间电荷密度${\rho }_s$的表达式可以知道，载流子的浓度需要与其对应的提供者——施主和受主杂质浓度相减。因此在正常情况下，在空间电荷密度应该为0

由此可得整个泊松方程式都为0：$$p-n+N_D^{+}-N_A^{-}=0$$

这样一来，我们就凑齐了计算电势${\psi }_p$最后的一块拼图：$$\{\begin{array}{l}p=N_A^{-}\\ n=N_D^{+}\end{array}$$
掺杂浓度$N_A和N_D$右上角的正负号，表示的是电离的杂质。

最后，我们把所有的龙珠集合起来，就得到了：$${\psi }_p=-\frac{kT}{q}ln\frac{N_A}{n_i}$$

3.同理，我们可以得到n区的电势：$${\psi }_n=-\frac{kT}{q}ln\frac{N_D}{n_i}$$

4.将n区和p区的电势相减，就得到了两区之间的电势差，也就是内建电势$V_{bi}$：$$V_{bi}={\psi }_n-{\psi }_p=\frac{kT}{q}ln\frac{N_A{N}_D}{n_i^2}$$

Pn结特性4：空间电荷区

空间电荷区，也称耗尽层abrupt junction，是指在pn结中，由于自由电子的扩散运动和内电场导致的漂移运动，使得p区和n区的交界处产生的一个薄电荷层

耗尽层其实有两部分，分别是过渡区和可动载流子浓度为0的完全耗尽区。一般将过渡区忽略。
由于“可动载流子浓度为0”，可以得到$p=n=0$

将$p=n=0$代入泊松方程式，得到：$$\frac{d^2\psi }{d{x}^2}=\frac{q}{{\epsilon }_s}(N_A-N_D）$$

耗尽区abrupt junction有两种，分别是突变结和线性缓变结。突变结也分为一般的（通用的）突变结和单边突变结

突变结

突变结是浅扩散或低能离子注入形成的pn结。
因此，当题目提及浅扩散或低能离子注入时，则代入突变结的知识点进行计算

假设掺杂的时候都把半导体给掺均匀了。

我们需要求解这一块耗尽区的宽度$W$，顺便了解一下其内部的电场强度分布。

宽度W与内建电势、掺杂浓度的关系

为了求得宽度W与内建电势、掺杂浓度的关系，我们需要经历如下流程：
1.半导体的总电荷中性要求p侧每单位面积总负电荷必须精确地和n侧每单位面积总正空间电荷相等：$$N_A\cdot x_p=N_D\cdot x_n$$
p侧耗尽层宽度$x_p$，n侧耗尽层宽度$x_n$

由$x_p,x_n$可以得到：$$总耗尽层宽度W=x_p+x_n$$

2.由泊松方程式引入两个已知的变量——掺杂浓度：KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '}' at position 53: …ilon_s}(N_A-N_D}̲
,对上式积分两次，可以得到一个电势差。如果积分的区间合适，可以得到内建电势$V_{bi}$

3.第一次积分，得到耗尽层内的电场分布情况：$$E(x)=\frac{d\psi }{dx}=\{\begin{array}{l}\frac{q{N}_A}{{\epsilon }_s}(x+x_p),-x_p<x<0\\ \\ \frac{q{N}_D}{{\epsilon }_s}(x-x_n),0<x<x_n\end{array}$$

绘制电场强度关于x的坐标轴：

由图可以得到电场强度在耗尽区内的最大值：$$E_m=\frac{q{N}_A{x}_p}{{\epsilon }_s}=\frac{q{N}_D{x}_n}{{\epsilon }_s}$$

4.第二次积分，可以得到耗尽区的内建电势$V_{bi}$：$$V_{bi}=-{\int }_{-x_p}^{0}E(x)dx-{\int }_0^{x_n}E(x)dx=\frac{1}{2}{E}_{m}W$$

对上式进行换算，可以得到宽度W关于内建电势的表达式：$$W=\frac{2V_{bi}}{E_m}$$

5.$E_m$有两个表达式，分别采用了p侧的受主杂质和n侧的施主杂质。
为例同时使用p侧的受主杂质浓度和n侧的施主杂质浓度，我们对$W=\frac{2V_{bi}}{E_m}$进行变换：$$W=\frac{\sqrt{2V_{bi}}}{\sqrt{E_m}}\cdot \frac{\sqrt{2V_{bi}}}{\sqrt{E_m}}$$

将$E_m=\frac{q{N}_A{x}_p}{{\epsilon }_s}=\frac{q{N}_D{x}_n}{{\epsilon }_s}$代入上式，得到：$$W=\sqrt{\frac{2{\epsilon }_s}{q}(\frac{1}{N_D}+\frac{1}{N_A})V_{bi}}=\sqrt{\frac{2{\epsilon }_s}{q}(\frac{N_A+N_D}{N_A{N}_D})V_{bi}}$$

突变结可以继续分类：当一边的掺杂浓度远大于另一边时，形成单边突变结

单边突变结

线性缓变结linearly graded junction

线性缓变结是深扩散或高能离子注入的pn结。
因此，当题目提及深扩散或高能离子注入式，则代入线性缓变结的知识点进行计算。

$$dV=dE\cdot dW=\frac{dQ}{{\epsilon }_s}dW=\frac{q\cdot N(E)\cdot d{W}^2}{2{\epsilon }_s}$$
分母中的“2”是因为电势施加后耗尽层两边都增厚了dW，所以要除以2吗