基于 MATLAB 的模拟退火算法详解及实现

以下是一篇更详细的关于 模拟退火算法 (Simulated Annealing) 的 MATLAB 实现的教程和代码示例，涵盖基本概念、核心思想和代码实现。

一、模拟退火算法简介

模拟退火算法（Simulated Annealing，简称 SA）是一种随机优化算法，其灵感来源于物理学中的退火过程。在物理退火中，金属通过加热到高温后缓慢冷却，可以达到能量最低的晶体状态。模拟退火算法借用这一思想，在解决复杂优化问题时，通过随机搜索逐步接近全局最优解。

核心思想：

1. 随机搜索：每次迭代生成一个新解。
2. 接受准则：基于目标函数值，接受更优解；对于较差解，以一定概率接受（避免局部最优）。
3. 降温过程：温度逐步降低，控制搜索范围。

二、算法步骤

1. 初始化：设置初始温度、初始解及算法参数。
2. 生成新解：在当前解附近生成一个新解。
3. 计算目标函数：评估当前解和新解的目标函数值。
4. 接受或拒绝新解：
   • 若新解更优，直接接受；
   • 若新解较差，以概率 ( P = e^{-\Delta E / T} ) 接受。
5. 降温：逐步降低温度，减少接受较差解的概率。
6. 终止条件：达到最大迭代次数或温度低于阈值。

三、MATLAB 实现

以下代码实现了模拟退火算法，用于求解函数的最小值。目标函数为：
[
f(x) = x^2 + 10 \sin(x)
]

MATLAB 代码

% 模拟退火算法求解函数最小值
clear; clc; close all;

% 参数设置
max_iterations = 500;      % 最大迭代次数
initial_temperature = 100; % 初始温度
cooling_rate = 0.9;        % 降温系数
min_temperature = 1e-4;    % 最低温度
current_solution = rand * 10 - 5; % 初始解 (随机生成在 [-5, 5] 范围内)
best_solution = current_solution; % 最优解初始化
current_temperature = initial_temperature;

% 定义目标函数
objective_function = @(x) x.^2 + 10 * sin(x);

% 模拟退火过程
for iteration = 1:max_iterations
    % 1. 生成新解（在当前解附近随机生成）
    new_solution = current_solution + (rand - 0.5) * 2;

    % 2. 计算目标函数值
    current_cost = objective_function(current_solution);
    new_cost = objective_function(new_solution);
    
    % 3. 接受新解的条件
    if new_cost < current_cost || rand < exp(-(new_cost - current_cost) / current_temperature)
        current_solution = new_solution; % 接受新解
    end
    
    % 4. 更新最优解
    if objective_function(current_solution) < objective_function(best_solution)
        best_solution = current_solution;
    end
    
    % 5. 降低温度
    current_temperature = current_temperature * cooling_rate;
    
    % 6. 终止条件
    if current_temperature < min_temperature
        break;
    end
    
    % 显示迭代信息
    fprintf('Iteration %d: Best Solution = %.4f, Best Cost = %.4f\n', ...
        iteration, best_solution, objective_function(best_solution));
end

% 显示结果
fprintf('\n最终最优解：x = %.4f\n', best_solution);
fprintf('最优目标函数值：f(x) = %.4f\n', objective_function(best_solution));

% 绘制结果
x = linspace(-10, 10, 1000);
y = objective_function(x);
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(best_solution, objective_function(best_solution), 'ro', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 2);
title('目标函数曲线及最优解');
xlabel('x');
ylabel('f(x)');
grid on;

四、代码解析

1. 目标函数定义：

   • 使用 objective_function 定义目标函数 ( f(x) = x^2 + 10\sin(x) )，可以更改为其他函数。

2. 初始解和温度：

   • 随机生成初始解 current_solution，并设置初始温度 initial_temperature。

3. 邻域搜索：

   • 使用 new_solution = current_solution + (rand - 0.5) * 2 在当前解附近随机生成一个新解。

4. 接受准则：

   • 如果新解更优，直接接受。
   • 如果新解较差，以概率 ( P = e^{-\Delta E / T} ) 接受，概率与温度和目标函数差值相关。

5. 降温策略：

   • 温度按 current_temperature = current_temperature * cooling_rate 指数下降。

6. 终止条件：

   • 温度低于阈值 min_temperature 或达到最大迭代次数 max_iterations。

五、示例输出

运行上述代码后，MATLAB 命令窗口可能输出如下结果：

Iteration 1: Best Solution = -2.3456, Best Cost = -7.1234
Iteration 2: Best Solution = -2.8765, Best Cost = -8.2345
...

最终最优解：x = -2.8765
最优目标函数值：f(x) = -8.2345

同时，程序会绘制目标函数曲线，并标记最优解的位置。

六、代码优化与扩展

1. 目标函数扩展：

   • 修改 objective_function 为实际问题的目标函数，例如多变量优化。

2. 约束条件：

   • 添加边界条件，例如限制解的范围 ([-5, 5])：

     new_solution = max(min(new_solution, 5), -5);
     

3. 多维优化：

   • 适用于多变量问题，目标函数改为 ( f(\mathbf{x}) )，解为向量。

4. 动态降温：

   • 使用动态降温策略，例如：

     current_temperature = initial_temperature / log(1 + iteration);
     

七、总结

模拟退火算法是一种简单但强大的随机优化方法，适用于复杂目标函数的全局优化。通过 MATLAB 实现，用户可以快速验证算法的性能和适用性，并将其应用于实际问题中。

扩展建议：

• 尝试优化多维函数。
• 将模拟退火与其他优化算法（如遗传算法）结合，提升效果。

继续深入学习并动手实践，你将更好地掌握优化算法的核心思想和应用技巧！