第三十二天|动态规划| 理论基础，509. 斐波那契数，70. 爬楼梯 ，746. 使用最小花费爬楼梯
目录
理论基础
动态规划的解题步骤
509. 斐波那契数
一维dp压缩优化
迭代法
70. 爬楼梯
746. 使用最小花费爬楼梯
理论基础
如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。所以动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的。
动态规划的解题步骤
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
- 确定递推公式
- dp数组如何初始化
- 确定遍历顺序
- 举例推导dp数组
509. 斐波那契数
动态规划的方法复杂度比递归低！
dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp[i]
状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
// 初始化
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;从前到后遍历
- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(n)
class Solution {
public int fib(int n) {
if (n<=1){
return n;
}
int[] dp = new int[n+1];
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
}
return dp[n];
}
}一维dp压缩优化
当然可以发现，我们只需要维护两个数值就可以了，不需要记录整个序列。
class Solution {
public int fib(int n) {
if (n <= 1) {
return n;
}
int a = 0, b = 1, c = 0;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
c = a + b;
a = b;
b = c;
}
return b;
}
}- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(1)
迭代法
class Solution {
public int fib(int n) {
// 迭代法
if (n < 2) {
return n;
}
return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}
}- 时间复杂度：O(2^n)
- 空间复杂度：O(n)，算上了编程语言中实现递归的系统栈所占空间
70. 爬楼梯
就是斐波那契数列
dp[i]： 爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法
确定递推公式：
从dp[i]的定义可以看出，dp[i] 可以有两个方向推出来。
首先是dp[i - 1]，上i-1层楼梯，有dp[i - 1]种方法，那么再一步跳一个台阶不就是dp[i]了么。
还有就是dp[i - 2]，上i-2层楼梯，有dp[i - 2]种方法，那么再一步跳两个台阶不就是dp[i]了么。
那么dp[i]就是 dp[i - 1]与dp[i - 2]之和！
所以dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] 。
dp[1] = 1，dp[2] = 2
从前向后遍历
// 常规方式
public int climbStairs(int n) {
int[] dp = new int[n + 1];
dp[0] = 1;
dp[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
return dp[n];
}先写出dp正常版本，然后对其进行优化。
class Solution {
public int climbStairs(int n) {
int[] dp = new int[n + 1];
if (n < 3) {
return n;
}
int a = 1, b = 2;
for (int i = 3; i <= n; i++) {
int sum = a + b;// f(i - 1) + f(i - 2)
a = b; // 记录f(i - 1)，即下一轮的f(i - 2)
b = sum; // 记录f(i)，即下一轮的f(i - 1)
}
return b;
}
}746. 使用最小花费爬楼梯
dp[i]的定义：到达第i台阶所花费的最少体力为dp[i]。
可以有两个途径得到dp[i]，一个是dp[i-1] 一个是dp[i-2]。
dp[i - 1] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1]。
dp[i - 2] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2]。
那么究竟是选从dp[i - 1]跳还是从dp[i - 2]跳呢？
一定是选最小的，所以dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
初始化 dp[0] = 0，dp[1] = 0;
从前到后遍历cost数组
class Solution {
public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
// 常规版本dp
// int[] dp = new int[cost.length+1];
// dp[0] = 0;
// dp[1] = 0;
// for (int i = 2; i <= cost.length; i++) {
// dp[i] = Math.min((dp[i-1]+cost[i-1]),(dp[i-2]+cost[i-2]));
// }
// return dp[cost.length];
// 优化空间复杂度版本dp
int a = 0, b = 0;
for (int i = 2; i <= cost.length; i++) {
int sum = Math.min((b + cost[i - 1]), (a + cost[i - 2]));
a = b;
b = sum;
}
return b;
}
}今天的三道题都比较简单，主要是为了理解dp。
第三十二天的总算是结束了，直冲Day34！（因为33休息嘿嘿）