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99.【C语言】数据结构之二叉树的基本知识

article 2024/11/22 22:23:25

1.树的定义

树是递归定义的

一些细碎的概念

2.树的判断法则

树结点结构的定义

自然想到的定义方法

左孩子+右兄弟定义

3.树的应用:文件系统

4.树的特殊形式:二叉树

5.特殊的两类二叉树

满二叉树

完全二叉树

完全二叉树和满二叉树之间的关系

高度为h的完全二叉树结点的数量范围

6.一个性质

7.二叉树概念选择题

度为1的规律

了解二叉树前先了解树

1.树的定义

非线性数据结构(线性的数据结构:顺序表、链表和队列),结构类似倒过来的树(根朝上叶朝下)

树是递归定义的

任何一棵树都由两部分构成:根和子树,子树又由根和子树构成

一些细碎的概念

用亲缘关系来描述

注:有★为重要概念

结点的度：一个结点含有的子树的个数称为该结点的度(或者说:一个结点的度是指该结点拥有的子结点的数量)；如上图：A的为6

★叶结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点；如上图：B、C、H、I...等结点为叶结点

非终端结点或分支结点：度不为0的结点；如上图：D、E、F、G...等结点为分支结点

★双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图：A是B的父结点

★孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图：B是A的孩子结点

兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图：B、C是兄弟结点

树的度：一棵树中，最大的结点的度称为树的度；如上图：树的度为6

结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推；

★树的高度或深度：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为4(注:按认知角度来说,空树的高度为0,因此从1开始算:1,2,3,4,..,n)

堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点

★结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先

例如:Q的祖先:A,E,J,Q

★子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

2.树的判断法则

树?非树?

答案:都不是树

分析:以第一张图说明:C->D(C为根,D为子树)D->C(D为根,C为子树),矛盾(递归死循环)

因此子树不能相交!

树结点结构的定义

自然想到的定义方法

struct TreeNode
{
	struct TreeNode* child1;
	struct TreeNode* child2;
	struct TreeNode* child3;
	......
	struct TreeNode* childN;
	int data;
};

或者使用数组

#define N 10
struct TreeNode
{
	struct TreeNode* children[N];
	int data;
};

上述两种定义的方法不高效,需要手动设置多个结点,而且只针对于N已知的情况,其实使用"左孩子+右兄弟"的方法更简单

左孩子+右兄弟定义

例如下面这个二叉树

用"左孩子+右兄弟"方法画图

3.树的应用:文件系统

打开文件管理器

显然是一个树形结构

4.树的特殊形式:二叉树

要求:根结点下最多两个子树(左子树和右子树,次序不可颠倒)即0<=度<=2

5.特殊的两类二叉树

满二叉树

一个二叉树,如果每一个层的结点数都达到最大值,则这个二叉树就是满二叉树.也就是说,如果

一个二叉树的层数为K,且结点总数是 $2^k -1$ ,则它就是满二叉树

结点总数的计算方法:等比求和 $1+2^1+2^2+...+2^{k-1}=2^k-1$

完全二叉树

完全二叉树是效率很高的数据结构,完全二叉树是由满二叉树而引出来的.对于深度

为K的,有n个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点

一一对应时称之为完全二叉树. 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树.

即前k-1层都是满的,最后一层要求从左到右是连续的(结点挨着,不能有空缺)

完全二叉树和满二叉树之间的关系

高度为h的完全二叉树结点的数量范围

最少结点个数:第h层1个结点: $2^{h-1}-1+1=2^{h-1}$

最多结点个数:第h层结点填满(满二叉树): $2^h-1$

因此★结点的数量范围为 $[2^{h-1},2^h-1]$

同理,如果给出一个二叉树的所有结点n的个数,可以反推出树的高度 $2^{h-1}\leq n\leq 2^h-1$

h取 $[\log_2 {n+1},1+\log_2 n]$ 之间的整数即可

6.一个性质

对于非空树,度为0的结点的个数永远比度为2的结点个数多一个

设度为0的结点(叶结点)的个数为 $n_0$ ,度为0的结点的个数为 $n_2$ ,则有 $n_0=n_2+1$

7.二叉树概念选择题

1.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（）

A n
B n+1
C n-1
D n/2

2.一棵完全二叉树的结点数位为531个，那么这棵树的高度为（）
A 11
B 10
C 8
D 12

3.一个具有767个结点的完全二叉树，其叶子结点个数为（）
A 383
B 384
C 385
D 386