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线性神经网络模型

article 2024/11/27 10:57:16

一、基本组成

线性神经网络的结构相对简单，主要由输入层、权重、偏置和输出层组成。

图1 线性神经网络的结构

输入层：负责接收外部输入数据，这些数据通常以向量的形式表示。
权重：连接输入层和输出层的参数，决定了输入数据对输出结果的影响程度。权重矩阵（W）中的每个元素都对应一个输入和一个输出神经元之间的连接强度。
偏置：在输出层之前加入的一个常数项，用于调整输出结果的偏移量。偏置向量（b）中的每个元素都对应一个输出神经元。
输出层：根据输入数据、权重和偏置计算最终输出结果。

线性神经网络除了产生二值输出以外，还可以产生模拟输出——即采用线性传输函数，使输出可以为任意值。

二、数学表示

在一层神经网络的情况下，假设输入是一个 $N$ 维向量 $x=[x_{1},x_{2},\cdots,x_{N}]$ ，从输入到神经元的权值为 $w_{i}$ ，则该神经的输出为：

其中， $v$ 是输出向量， $w$ 是权重向量， $x$ 是输入向量， $b$ 是偏置项。

在输出节点中的传递函数（激活函数）采用线性函数purelin，其输入与输出之间是一个简单的比例关系。线性网络最终的输出为：

$y=purelin(v)$

这个公式描述了线性神经网络如何进行线性变换，即输入向量 $x$ 与权重矩阵 $w$ 进行矩阵乘法，然后加上偏置向量 $b$ ，再应用激活函数，得到输出向量 $y$ 。

写成矩阵的形式，假设输入向量为：

权值向量为：

其中 $w_{0}=b(n)$ ，表示偏置，则输出可以表示为：

三、特点与应用

1. 特点

线性神经网络只包含线性变换，因此无法捕捉数据中的非线性关系。学习规则通常采用最小均方差（LMS）算法，寻找最佳的权值和偏置，以最小化输出误差。

2. 应用

线性神经网络广泛应用于各种机器学习任务，包括回归问题和线性可分的分类问题。在函数拟合与逼近、预测、模式识别等领域也有广泛应用。

四、与单层感知器的关系

线性神经网络与单层感知器之间存在紧密的关系。单层感知器是一种最简单的神经网络形式，它包含一个输入层和一个输出层，没有任何隐藏层。输出层中的每个神经元都与输入层中的每个神经元相连接，并且每个连接都有一个权重。输出是通过对输入和权重进行加权和（线性组合）然后通过激活函数处理得到的。当我们将激活函数设为恒等函数（即f(x) = x）时，单层感知器就等同于线性神经网络的一个特例。