沥川的算法学习笔记：基础算法（3）----高精度算法

        今天学习了acwing算法基础课的高精度算法，记录下算法模版！

        高精度算法在输入和输出时需要从后往前进行遍历！！！

1.高精度加法

        高精度加法（add）： 这个函数接受两个整数向量 A 和 B，返回它们的和。函数首先确保 A 的长度不小于 B，如果不是，则交换它们。然后，它从低位到高位逐位相加，同时处理进位。如果某一位的和大于等于10，则将进位加到下一位的计算中。最后，如果最高位有进位，则需要将其添加到结果中。

// C = A + B, A >= 0, B >= 0
vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    if (A.size() < B.size()) return add(B, A);

    vector<int> C;
    int t = 0;
    for (int i = 0; i < A.size(); i ++ )
    {
        t += A[i];
        if (i < B.size()) t += B[i];
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }

    if (t) C.push_back(t);
    return C;
}

2.高精度减法

        高精度减法（sub）： 这个函数接受两个整数向量 A 和 B，返回它们的差。函数首先确保 A 大于或等于 B，如果不是，则无法进行减法运算。然后，它从低位到高位逐位相减，同时处理借位。如果某一位的被减数小于减数，则需要从高位借位。最后，去除结果中前导的零。

// C = A - B, 满足A >= B, A >= 0, B >= 0
vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    vector<int> C;
    for (int i = 0, t = 0; i < A.size(); i ++ )
    {
        t = A[i] - t;
        if (i < B.size()) t -= B[i];
        C.push_back((t + 10) % 10);
        if (t < 0) t = 1;
        else t = 0;
    }

    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    return C;
}

3.高精度乘法

        高精度乘法（mul）： 这个函数接受一个整数向量 A 和一个整数 b，返回它们的乘积。函数首先将 A 中的每个元素与 b 相乘，并将结果累加到结果向量 C 中。然后，它去除结果中前导的零。

// C = A * b, A >= 0, b >= 0
vector<int> mul(vector<int> &A, int b)
{
    vector<int> C;

    int t = 0;
    for (int i = 0; i < A.size() || t; i ++ )
    {
        if (i < A.size()) t += A[i] * b;
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }

    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();

    return C;
}

4.高精度除法

        高精度除法（div）： 这个函数接受一个整数向量 A 和一个整数 b，返回它们的商和余数。函数首先从 A 的最高位开始，逐位进行除法运算。在每一步中，它将被除数的一部分与除数进行比较，确定可以整除的最大倍数。然后将这个倍数作为商的一部分，并将相应的乘积从被除数中减去。最后，去除商中前导的零，并返回商和余数。

// A / b = C ... r, A >= 0, b > 0
vector<int> div(vector<int> &A, int b, int &r)
{
    vector<int> C;
    r = 0;
    for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i -- )
    {
        r = r * 10 + A[i];
        C.push_back(r / b);
        r %= b;
    }
    reverse(C.begin(), C.end());
    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    return C;
}