AVL树实现

1. AVL的概念

AVL树是最先发明的⾃平衡⼆叉查找树，AVL是⼀颗空树，或者具备下列性质的⼆叉搜索树：它的 左右⼦树都是AV树，且左右⼦树的⾼度差的绝对值不超过1。AVL树是⼀颗⾼度平衡搜索⼆叉树， 通过控制⾼度差去控制平衡。

AVL树得名于它的发明者G. M. Adelson-Velsky和E. M. Landis是两个前苏联的科学家，他们在1962 年的论⽂《An algorithm for the organization of information》中发表了它。

AVL树实现这⾥我们引⼊⼀个平衡因⼦(balance factor)的概念，每个结点都有⼀个平衡因⼦，任何 结点的平衡因⼦等于右⼦树的⾼度减去左⼦树的⾼度，也就是说任何结点的平衡因⼦等于0/1/-1， AVL树并不是必须要平衡因⼦，但是有了平衡因⼦可以更⽅便我们去进⾏观察和控制树是否平衡， 就像⼀个⻛向标⼀样。 

思考⼀下为什么AVL树是⾼度平衡搜索⼆叉树，要求⾼度差不超过1，⽽不是⾼度差是0呢？0不是更 好的平衡吗？画画图分析我们发现，不是不想这样设计，⽽是有些情况是做不到⾼度差是0的。⽐ 如⼀棵树是2个结点，4个结点等情况下，⾼度差最好就是1，⽆法作为⾼度差是0

AVL树整体结点数量和分布和完全⼆叉树类似，⾼度可以控制在 logN，那么增删查改的效率也可 以控制在O(logN) ，相⽐⼆叉搜索树有了本质的提升

2. AVL树的实现

2.1 AVL树的结构

using namespace std;
template<class  K,class V>
struct AVLTreeNode
{
	//需要parent指针,后续更新平衡因子可看到
	pair<K, V> _kv;
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	int _bf;
	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		,_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_bf(0)
	{}
};
template<class  K, class V>
class AVLTree
{	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
        //...
private:
	Node* _root = nullptr;
};

和搜索二叉树结构差不多，多了一个_parent和_bf 

2.2 AVL树的插入

2.2.1 AVL树插入⼀个值的大概过程

1. 插⼊⼀个值按⼆叉搜索树规则进⾏插⼊。

2. 新增结点以后，只会影响祖先结点的⾼度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因⼦，所以更新 从新增结点->根结点路径上的平衡因⼦，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可 以停⽌了，具体情况我们下⾯再详细分析。

3. 更新平衡因⼦过程中没有出现问题，则插⼊结束

4. 更新平衡因⼦过程中出现不平衡，对不平衡⼦树旋转，旋转后本质调平衡的同时，本质降低了⼦树 的⾼度，不会再影响上⼀层，所以插⼊结束。

2.2.2 平衡因子更新

更新原则：

平衡因⼦ = 右⼦树⾼度-左⼦树⾼度

只有⼦树⾼度变化才会影响当前结点平衡因⼦。

插⼊结点，会增加⾼度，所以新增结点在parent的右⼦树，parent的平衡因⼦++，新增结点在 parent的左⼦树，parent平衡因⼦--

parent所在⼦树的⾼度是否变化决定了是否会继续往上更新

更新停⽌条件

更新后parent的平衡因⼦等于0，更新中parent的平衡因⼦变化为-1->0 或者 1->0，说明更新前 parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的结点插⼊在低的那边，插⼊后parent所在的⼦树⾼度不变，不会 影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，更新结束。

更新后parent的平衡因⼦等于1 或 -1，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为0->1 或者 0->-1，说 明更新前parent⼦树两边⼀样⾼，新增的插⼊结点后，parent所在的⼦树⼀边⾼⼀边低，parent所 在的⼦树符合平衡要求，但是⾼度增加了1，会影响arent的⽗亲结点的平衡因⼦，所以要继续向上 更新。

更新后parent的平衡因⼦等于2 或 -2，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为1->2 或者 -1->-2，说 明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的插⼊结点在⾼的那边，parent所在的⼦树⾼的那边更⾼ 了，破坏了平衡，parent所在的⼦树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的⽬标有两个：1、把 parent⼦树旋转平衡。2、降低parent⼦树的⾼度，恢复到插⼊结点以前的⾼度。所以旋转后也不 需要继续往上更新，插⼊结束。

更新到10结点，平衡因⼦为2，10所在的⼦树已经不平衡，需要旋转处理

更新到中间结点，3为根的⼦树⾼度不变，不会影响上⼀层，更新结束

最坏更新到根停⽌

2.2.3 插入结点及更新平衡因⼦的代码实现

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(kv);
		return true;
	}
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_kv.first < kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_kv.first > kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return false;
		}
	}
	cur = new Node(kv);
	if(parent->_kv.first < kv.first)
	{
		parent->_right = cur;
	}
	else
	{
		parent->_left = cur;
	}
	//链接父亲
	cur->_parent = parent;

	// 控制平衡
	while (parent)
	{
        // 更新平衡因子
		if (cur == parent->_left)
		{
			parent->_bf--;
		}
		else
		{
			parent->_bf++;
		}
		if (parent->_bf == 0)
		{
            //更新结束
			break;
		}
		else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
		{
            //继续往上更新
			cur = parent;
			parent = parent->_parent;
		}
		else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
		{
            // 不平衡了，旋转处理
			break;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
		
	}
	return true;
}

前面的插入和搜索二叉树一样

2.3 旋转

2.3.1 旋转的原则

1. 保持搜索树的规则

2. 让旋转的树从不满⾜变平衡，其次降低旋转树的⾼度

旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋。

说明：下⾯的图中，有些结点我们给的是具体值，如10和5等结点，这⾥是为了⽅便讲解，实际中是什么值都可以，只要⼤⼩关系符合搜索树的规则即可。

2.3.2 右单旋

本图1展⽰的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵⾼度为h的⼦树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要 求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的⼦树的根。这⾥a/b/c是⾼度为h的⼦树， 是⼀种概括抽象表⽰，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体图2/图3/图4/ 图5进⾏了详细描述。

在a⼦树中插⼊⼀个新结点，导致a⼦树的⾼度从h变成h+1，不断向上更新平衡因⼦，导致10的平 衡因⼦从-1变成-2，10为根的树左右⾼度差超过1，违反平衡规则。10为根的树左边太⾼了，需要 往右边旋转，控制两棵树的平衡。

旋转核⼼步骤，因为5 < b⼦树的值 < 10，将b变成10的左⼦树，10变成5的右⼦树，5变成这棵树新 的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的⾼度恢复到了插⼊之前的h+2，符合旋转原 则。如果插⼊之前10整棵树的⼀个局部⼦树，旋转后不会再影响上⼀层，插⼊结束了。

2.3.3 右单旋代码实现

//右单旋
void RotateR(Node* parent)
{
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;

	parent->_left = subLR;

	//判断b是否为空，如果为空就不能对他进行解引用
	if (subLR)
		subLR->_parent = parent;

	Node* pParent = parent->_parent;

	subL->_right = parent;

	parent->_parent = subL;

	//判断上面是否有节点
	if (parent == _root)
	{
		_root = subL;
		subL->_parent = nullptr;
	}
	//上面有节点判断子树在祖父节点的左边还是右边，要让祖先节点指向我们
	else
	{
		if (pParent->_left == parent)
		{
			pParent->_left = subL;
		}
		else
		{
			pParent->_right = subL;
		}
		subL->_parent = pParent;
	}
	//更新平衡因子
	subL->_bf = 0;
	parent->_bf = 0;

}

2.3.4 左单旋

本图6展⽰的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵⾼度为h的⼦树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要 求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的⼦树的根。这⾥a/b/c是⾼度为h的⼦树， 是⼀种概括抽象表⽰，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体跟上⾯左旋类 似。

在a⼦树中插⼊⼀个新结点，导致a⼦树的⾼度从h变成h+1，不断向上更新平衡因⼦，导致10的平 衡因⼦从1变成2，10为根的树左右⾼度差超过1，违反平衡规则。10为根的树右边太⾼了，需要往 左边旋转，控制两棵树的平衡。

旋转核⼼步骤，因为10 < b⼦树的值 < 15，将b变成10的右⼦树，10变成15的左⼦树，15变成这棵 树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的⾼度恢复到了插⼊之前的h+2，符合旋转 原则。如果插⼊之前10整棵树的⼀个局部⼦树，旋转后不会再影响上⼀层，插⼊结束了。

左单旋和右单旋逻辑类似

2.3.5 左单旋代码实现

//左单旋
void RotateL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
	parent->_right = subRL;

	if (subRL)
		subRL->_parent = parent;

	Node* pParent = parent->_parent;
	subR->_left = parent;
	parent->_parent = subR;
	if (pParent == nullptr)
	{
		_root = subR;
		subR->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		if (pParent->_left == parent)
		{
			pParent->_left = subR;
		}
		else
		{
			pParent->_right = subR;
		}
		subR->_parent = pParent;
	}
	subR->_bf = 0;
	parent->_bf = 0;
}

2.3.6 左右双旋

通过图7和图8可以看到，左边⾼时，如果插⼊位置不是在a⼦树，⽽是插⼊在b⼦树，b⼦树⾼度从h变 成h+1，引发旋转，右单旋⽆法解决问题，右单旋后，我们的树依旧不平衡。右单旋解决的纯粹的左边⾼，但是插⼊在b⼦树中，10为跟的⼦树不再是单纯的左边⾼，对于10是左边⾼，但是对于5是右边 ⾼，需要⽤两次旋转才能解决，以5为旋转点进⾏⼀个左单旋，以10为旋转点进⾏⼀个右单旋，这棵树 这棵树就平衡了。

图7和图8分别为左右双旋中h==0和h==1具体场景分析，下⾯我们将a/b/c⼦树抽象为⾼度h的AVL ⼦树进⾏分析，另外我们需要把b⼦树的细节进⼀步展开为8和左⼦树⾼度为h-1的e和f⼦树，因为 我们要对b的⽗亲5为旋转点进⾏左单旋，左单旋需要动b树中的左⼦树。b⼦树中新增结点的位置 不同，平衡因⼦更新的细节也不同，通过观察8的平衡因⼦不同，这⾥我们要分三个场景讨论。

场景1：h >= 1时，新增结点插⼊在e⼦树，e⼦树⾼度从h-1并为h并不断更新8->5->10平衡因⼦， 引发旋转，其中8的平衡因⼦为-1，旋转后8和5平衡因⼦为0，10平衡因⼦为1。

场景2：h >= 1时，新增结点插⼊在f⼦树，f⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因⼦，引 发旋转，其中8的平衡因⼦为1，旋转后8和10平衡因⼦为0，5平衡因⼦为-1。

场景3：h == 0时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新5->10平衡因⼦，引发旋 转，其中8的平衡因⼦为0，旋转后8和10和5平衡因⼦均为0。

2.3.7 左右双旋代码实现

	//左右双旋
	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;

		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);
		
		if (bf == -1)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

2.3.8 右左双旋

跟左右双旋类似，下⾯我们将a/b/c⼦树抽象为⾼度h的AVL⼦树进⾏分析，另外我们需要把b⼦树的 细节进⼀步展开为12和左⼦树⾼度为h-1的e和f⼦树，因为我们要对b的⽗亲15为旋转点进⾏右单 旋，右单旋需要动b树中的右⼦树。b⼦树中新增结点的位置不同，平衡因⼦更新的细节也不同，通 过观察12的平衡因⼦不同，这⾥我们要分三个场景讨论。

场景1：h >= 1时，新增结点插⼊在e⼦树，e⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因 ⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为-1，旋转后10和12平衡因⼦为0，15平衡因⼦为1。

场景2：h >= 1时，新增结点插⼊在f⼦树，f⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因⼦， 引发旋转，其中12的平衡因⼦为1，旋转后15和12平衡因⼦为0，10平衡因⼦为-1。

场景3：h == 0时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新15->10平衡因⼦，引发旋 转，其中12的平衡因⼦为0，旋转后10和12和15平衡因⼦均为0。

2.3.9 右左双旋代码实现

//右左双旋旋
void RotateRL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
	int bf = subRL->_bf;

	RotateR(parent->_right);
	RotateL(parent);

	if (bf == -1)
	{
		subRL->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
		subR->_bf = 1;
	}
	else if (bf == 1)
	{
		subRL->_bf = 0;
		parent->_bf = -1;
		subR->_bf = 0;
	}
	else if(bf == 0)
	{
		subRL->_bf = 0;
		subR->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}
	else
	{
		assert(false);
	}
}

2.4 AVL树的查找

按⼆叉搜索树逻辑实现即可，搜索效率为 O(logN)

Node* Find(const K& key)
{
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_kv.first < key)
		{
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_kv.first > key)
		{
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return cur;
		}
	}
	return nullptr;
}

2.5 AVL树平衡检测

我们实现的AVL树是否合格，我们通过检查左右⼦树⾼度差的的程序进⾏反向验证，同时检查⼀下结点的平衡因⼦更新是否出现了问题。

int _Height(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
	{
		return 0;
	}
	int leftHeight = _Height(root->_left);
	int rightHeight = _Height(root->_right);
	return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}
bool _IsBalanceTree(Node* root)
{
	//空树也是AVL树
	if (nullptr == root)
		return true;
	//计算pRoot结点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差
	int leftHeight = _Height(root->_left);
	int rightHeight = _Height(root->_right);
	int diff = rightHeight - leftHeight;

	// 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者
	// pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树
	if (abs(diff) >= 2)
	{
		cout << root->_kv.first << "高度差异常" << endl;
		return false;
	}

	if (root->_bf != diff)
	{
		cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
		return false;
	}

	// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树
	return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);
}

测试代码一： 

// 测试代码
#include <vector>
#include "AVLTree.h"
void TestAVLTree1()
{
	AVLTree<int, int> t;
	// 常规的测试用例
	/*int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };*/
	// 特殊的带有双旋场景的测试用例
	int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };

	for (auto e : a)
	{
		
		t.Insert({ e, e });
	}

	t.InOrder();
	cout << t.IsBalanceTree() << endl;
}
int main()
{
	TestAVLTree1();

	return 0;
}

运行结果一：

运行结果二：

测试代码二：

// 插⼊⼀堆随机值，测试平衡，顺便测试⼀下⾼度和性能等
void TestAVLTree2()
{
	const int N = 1000000;
	vector<int> v;
	v.reserve(N);
	srand(time(0));
	for (size_t i = 0; i < N; i++)
	{
		v.push_back(rand() + i);
	}

	size_t begin2 = clock();
	AVLTree<int, int> t;
	for (auto e : v)
	{
		t.Insert(make_pair(e, e));
	}
	size_t end2 = clock();

	cout << "Insert:" << end2 - begin2 << endl;
	cout << t.IsBalanceTree() << endl;

	cout << "Height:" << t.Height() << endl;
	cout << "Size:" << t.Size() << endl;

	size_t begin1 = clock();
	// 确定在的值
	for (auto e : v)
	{
		t.Find(e);
	}
	// 随机值
	/*for (size_t i = 0; i < N; i++)
	{
		t.Find((rand() + i));
	}*/
	size_t end1 = clock();
	cout << "Find:" << end1 - begin1 << endl;
}
int main()
{
	TestAVLTree2();

	return 0;
}

运行结果：

2.6 AVL树的删除

AVL树的删除本章节不做讲解，有兴趣的小编们可以参考：《殷⼈昆 数据结构：⽤⾯向对象⽅法与C++语 ⾔描述》中讲解。

结束语：

AVL树是一种平衡二叉搜索树，通过旋转操作确保树的高度始终保持平衡，从而保证插入、删除和查找操作的时间复杂度始终为 ( O(\log n) )。AVL树在实践中广泛应用于需要高效搜索、插入和删除操作的场景，例如数据库索引、内存管理和缓存系统等。

实现AVL树的关键挑战在于如何高效地处理节点的平衡因子、旋转操作以及树的高度更新。通过适当的旋转（单旋转和双旋转）来保证树的平衡，AVL树能在动态变化的环境中保持良好的性能。

总结来说，AVL树是一种具有高度自平衡特性的二叉搜索树，它能在大多数情况下提供稳定的性能，在许多需要高效数据存储和查询的应用中都有广泛的应用前景。