证明面积不超过1/8的一组凸形状可以平移填充进面积为1的凸形状内而不重叠

假设$C$是${\mathbb{R}}^2$中的一个凸图形，其面积为1，并假设$S$是${\mathbb{R}}^2$中的一组（可能是无限个）凸图形。对于$S$中的每个凸图形$D$，存在一个常数$k\in \mathbb{R}$使得 D = k C : = { k x ⃗ : x ⃗ ∈ C } D = kC := \{k \vec{x}: \vec{x} \in C\} D=kC:={kx :x ∈C}。如果存在一个映射$t:S\to {\mathbb{R}}^2$，使得对于$S$中的每个$D$，通过向量$t(D)$平移后的内部包含在$C$内，并且任何$S$中两个不同的$D$和$D^{\prime }$在通过$t(D)$和$t(D^{\prime })$平移后，$D$的内部不与$D^{\prime }$的内部重叠，那么我们说$S$中的凸形状可以通过平移的方式被填充到$C$内。证明如果$S$中凸形状的总面积最多为$1/8$，则它们可以仅通过平移的方式被填充到$C$内。

证：

1：缩放不变性

• 由于$D=kC$，并且$C$的面积为 1，按照缩放公式，图形$D$的面积为$k^2\times \text{面积}(C)=k^2$。

• 因此，每个图形$D$的面积是$k^2$，且$k^2\le \frac{1}{8}$，因为题目条件中要求$S$中所有图形的总面积不超过$\frac{1}{8}$，这也为后续的填充方案提供了面积上的约束。

2：总面积限制

• 假设$S$中所有凸图形的总面积为$A$，根据题目条件，$A\le \frac{1}{8}$。

• 每个图形$D$的面积是$k^2$（如前所述），因此$S$中每个$D$都符合面积不超过$\frac{1}{8}$的限制。我们接下来利用这一面积限制来设计平移填充策略。

3：平移映射的构造

• 我们的目标是构造一个映射$t:S\to {\mathbb{R}}^2$，使得每个图形$D$可以平移到$C$内，且不同的$D$平移后不会重叠。

• 由于$C$是凸的，我们可以选取一个内接正方形$Q$来进行构造。设$Q$的边长为$s$，则$Q$的面积为$s^2\le 1$。

• 我们将利用$C$内接正方形的性质，帮助我们进行平移填充。

4：缩放与填充正方形

• 由于每个图形$D$的面积是$k^2$，且$k^2\le \frac{1}{8}$，可以推导出$k\le \frac{1}{2\sqrt{2}}$。

• 通过缩放图形$D$到一个合适的大小，我们确保它的面积不会超过$\frac{s^2}{8}$，即每个图形$D$被缩放后面积最大为$\frac{s^2}{8}$。

• 因为$D$是$kC$，且$k\le \frac{1}{2\sqrt{2}}$，则$D$可以被缩放到一个边长为$\frac{s}{2\sqrt{2}}$的正方形内。

• 进一步，假设我们将$C$内的正方形$Q$划分为 8 个小正方形。每个小正方形的边长为$\frac{s}{2}$，其面积为$\frac{s^2}{4}$。每个小正方形的面积足够容纳缩放后的图形$D$，因为$D$的面积为$k^2{s}^2\le \frac{s^2}{8}$，而每个小正方形的面积是$\frac{s^2}{4}$，因此，面积上满足填充条件。

• 由于图形$D$是凸的，即使它的形状发生了变化，缩放后的$D$仍然能够适应在这些小正方形内。

5：平移策略

• 将$C$内接正方形$Q$分成 8 个小正方形后，对于每个图形$D$，我们将其缩放至适当大小（如前所述，边长最大为$\frac{s}{2\sqrt{2}}$），然后将其平移到$Q$中一个未被占据的小正方形的中心。

• 通过这种平移方式，保证了每个图形$D$都能恰当地放入$C$内，并且它们不会重叠。

6：不重叠性证明

• 为了确保不同的图形$D$和$D^{\prime }$在平移后不重叠，我们可以利用以下策略：

• 由于每个图形$D$在平移前都被缩放到一个小正方形内，而每个小正方形的面积足够容纳$D$，且每个小正方形只能容纳一个图形$D$，因此，平移后的图形$D$和$D^{\prime }$不会有交集。

• 因为小正方形之间没有重叠，而且每个$D$被平移到一个独立的小正方形内，最终平移后的图形之间不会相互重叠。

综上，我们成功地构造了平移映射$t$，使得所有图形$D$通过平移后能够放入$C$内，并且它们之间不会重叠。

• 因此，若$S$中凸形状的总面积最多为$\frac{1}{8}$，则它们可以通过平移的方式被填充到$C$内。