C++ 二叉搜索树（Binary Search Tree, BST）深度解析与全面指南：从基础概念到高级应用、算法优化及实战案例
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目录
⼆叉搜索树的概念
⼆叉搜索树的性能分析
⼆叉搜索树的插⼊
⼆叉搜索树的查找
二叉搜索树中序遍历
⼆叉搜索树的删除
cur的左节点为空的情况
cur的右节点为空的情况
左，右节点都不为空的情况
二叉搜索树【实现代码】
⼆叉搜索树key和key/value使⽤场景
key/value搜索场景
key/value⼆叉搜索树代码实现
⼆叉搜索树的概念
⼆叉搜索树⼜称⼆叉排序树，它或者是⼀棵空树，或者是具有以下性质的⼆叉树:
- 若它的左⼦树不为空，则左⼦树上所有结点的值都⼩于等于根结点的值
- 若它的右⼦树不为空，则右⼦树上所有结点的值都⼤于等于根结点的值
- 它的左右⼦树也分别为⼆叉搜索树
- ⼆叉搜索树中可以⽀持插⼊相等的值，也可以不⽀持插⼊相等的值，具体看使⽤场景定义，后续我 们学习map/set/multimap/multiset系列容器底层就是⼆叉搜索树，其中map/set不⽀持插⼊相等 值，multimap/multiset⽀持插⼊相等值
⼆叉搜索树的性能分析
最优情况下，⼆叉搜索树为完全⼆叉树(或者接近完全⼆叉树)，其⾼度为： O(log2 N)
所以综合⽽⾔⼆叉搜索树增删查改时间复杂度为： O(N)
那么这样的效率显然是⽆法满⾜我们需求的，我们后续课程需要继续讲解⼆叉搜索树的变形，平衡⼆ 叉搜索树AVL树和红⿊树，才能适⽤于我们在内存中存储和搜索数据。
另外需要说明的是，⼆分查找也可以实现 O(logN) 级别的查找效率，但是⼆分查找有两⼤缺陷：
- 需要存储在⽀持下标随机访问的结构中，并且有序。
- 插⼊和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插⼊和删除数据⼀般需要挪动数 据。
这⾥也就体现出了平衡⼆叉搜索树的价值。
⼆叉搜索树的插⼊
插⼊的具体过程如下：
- 树为空，则直接新增结点，赋值给root指针
- 树不空，按⼆叉搜索树性质，插⼊值⽐当前结点⼤往右⾛，插⼊值⽐当前结点⼩往左⾛，找到空位 置，插⼊新结点。
- 如果⽀持插⼊相等的值，插⼊值跟当前结点相等的值可以往右⾛，也可以往左⾛，找到空位置，插 ⼊新结点。（要注意的是要保持逻辑⼀致性，插⼊相等的值不要⼀会往右⾛，⼀会往左⾛）
int a[] = {8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13};下面我们可以看到，要插入一个16节点，比8大往右边走，比10大往右走，比14大往右走，走到空了就可以插入16这个节点了。
下面我们要插入3这个节点，比8小往左边走， 如果和3允许冗余的情况下往后大的走。
当cur循环到空时候，就在这个位置插入3这个节点，还需要parent记录上一个节点，用来和3节点进行连接。
接下来创建节点，构造用于申请新节点后初始化
//定义根节点赋值为空
第一步：判断根节点是不是空，是空把节点给根节点。
第二步：循环等于空就停下来，key小于当前节点往左边走，大于就往右走。
第三步：new一块新节点数值是key的，key和parent比较，parent就是记录上一个节点，小于和左边连接，大于和右边连接。
//节点
template<class K>
struct BS_Node
{
K _key;
BS_Node<K>* _left;//左
BS_Node<K>* _right;//右
//构造-用于申请新节点后初始化
BS_Node(const K& key)
:_key(key)
,_left(nullptr)
,_right(nullptr)
{}
};
template<class K>
class BStree
{
typedef BS_Node<K> Node;
public:
//插入
bool insert(const K& key)
{
//根节点为空
if (_root == nullptr)
{
//当前就给根节点
_root = new Node(key);
}
//parent用于记录上一个节点，用来和新节点连接
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
//循环到cur为空，就停下来
while (cur != nullptr)
{
//key小于当前节点往左边走
if (key < cur->_key)
{
//记录上一个节点
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
//key大于当前节点往右边走
else if(key > cur->_key)
{
//记录上一个节点
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
return true;
}
}
//new一块新节点给cur
cur = new Node(key);
if (key < parent->_key)
{
//小于，和左边连接
parent->_left = cur;
}
else
{
//大于，和右边连接
parent->_right = cur;
}
return false;
}
private:
Node* _root = nullptr;
};⼆叉搜索树的查找
- 从根开始⽐较，查找x，x⽐根的值⼤则往右边⾛查找，x⽐根值⼩则往左边⾛查找。
- 最多查找⾼度次，⾛到到空，还没找到，这个值不存在。
- 如果不⽀持插⼊相等的值，找到x即可返回
- 如果⽀持插⼊相等的值，意味着有多个x存在，⼀般要求查找中序的第⼀个x。如下图，查找3，要 找到1的右孩⼦的那个3返回
当我们要查询4从根节点开始，比8小往左边走，比3大往右边走，比6小往左走,找到4了，返回true。
.从根节点开始查询 ，cur不等于空，找到空了，就说明没有这个值。
小于当前节点往左边走，大于当前节点往右边走，等于就返回true。
二叉搜索树中序遍历
中序遍历定义在私有里，因为要从根节点开始遍历，需要用到根节点中序遍历。
然后在公有定义一个成员函数来，调用私有的中序遍历。
把数组的值插入到搜索二叉树，中序遍历打印出来。
因为没有9所以查询不到，返回false就是0。
⼆叉搜索树的删除
⾸先查找元素是否在⼆叉搜索树中，如果不存在，则返回false。
如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）
- 要删除结点N左右孩⼦均为空
- 要删除的结点N左孩⼦位空，右孩⼦结点不为空
- 要删除的结点N右孩⼦位空，左孩⼦结点不为空
- 要删除的结点N左右孩⼦结点均不为空
对应以上四种情况的解决⽅案：
- 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是⼀样 的）
- 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的右孩⼦，直接删除N结点
- 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的左孩⼦，直接删除N结点
- ⽆法直接删除N结点，因为N的两个孩⼦⽆处安放，只能⽤替换法删除。找N左⼦树的值最⼤结点 R(最右结点)或者N右⼦树的值最⼩结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意⼀个，放到N的 位置，都满⾜⼆叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转⽽变成删除R结 点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除。
节点的删除，我们需要查询对应的节点，然后进行删除。
cur的左节点为空的情况
如果cur的左节点为空，那么parent这个父节点和cur的右节点进行连接。
如果要删除的节点是根节点，那么把_root这个根节点往右走，然后释放cur节点。
cur的右节点为空的情况
右节点为空，那么parent这个父节点和cur的左节点进行连接。
如果要删除的节点是根节点，那么把_root这个根节点往左走，然后释放cur节点。
左，右节点都不为空的情况
如果要删除3，需要右节点的最左的那个节点的数值拿来替换。
mincur是找cur右子树最小的那个节点，用来替换。
tab保存上一个节点，用来和mincur的右节点连接，如果右节点是空，那就是连接空节点。
把4的数值赋值给3这个节点，然后释放4这个节点。
如果要删除根节点，需要右节点的最左的那个节点的数值拿来替换。
我们发现10的左节点已经完成空了，那就是用10这个节点来替换了。
下面这个返回true，是查询到要删除的节点，就返回true.
找不到返回false.
二叉搜索树【实现代码】
Search for a binary tree.h【头文件】
#pragma once
#include<iostream>
using namespace std;
namespace key
{
//节点
template<class K>
struct BS_Node
{
K _key;
BS_Node<K>* _left;//左
BS_Node<K>* _right;//右
//构造-用于申请新节点后初始化
BS_Node(const K& key)
:_key(key)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
{}
};
template<class K>
class BStree
{
typedef BS_Node<K> Node;
public:
//插入
bool insert(const K& key)
{
//根节点为空
if (_root == nullptr)
{
//当前就给根节点
_root = new Node(key);
}
//parent用于记录上一个节点，用来和新节点连接
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
//循环到cur为空，就停下来
while (cur != nullptr)
{
//key小于当前节点往左边走
if (key < cur->_key)
{
//记录上一个节点
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
//key大于当前节点往右边走
else if (key > cur->_key)
{
//记录上一个节点
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
return true;
}
}
//new一块新节点给cur
cur = new Node(key);
if (key < parent->_key)
{
//小于，和左边连接
parent->_left = cur;
}
else
{
//大于，和右边连接
parent->_right = cur;
}
return false;
}
//查询
bool find(const K& key)
{
//从根节点开始查询
Node* cur = _root;
while (cur != nullptr)
{
//小于当前节点，往左走
if (key < cur->_key)
{
cur = cur->_left;
}
//大于当前节点，往右走
else if (key > cur->_key)
{
cur = cur->_right;
}
else
{
return true;
}
}
return false;
}
//删除
bool Erase(const K& key)
{
//查找
Node* cur = _root;
//parent用来记录上一个节点
Node* parent = nullptr;
while (cur != nullptr)
{
if (key < cur->_key)
{
//parent记录上一个节点
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (key > cur->_key)
{
//parent记录上一个节点
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else//找到了进行删除
{
//当前节点的左节点为null
if (cur->_left == nullptr)
{
//*****************************
//要删除的节点等于根节点
if (cur == _root)
{
//让根节点往右走就行了
_root = cur->_right;
}
//*****************************
else
{
//父节点的左节点等于cur
if (parent->_left == cur)
{
//cur节点的左节点为null，用cur的右节点和父节点连接
parent->_left = cur->_right;
}
else
{
//cur节点的左节点为null，用cur的右节点和父节点连接
parent->_right = cur->_right;
}
}
delete cur;
}
//当前节点的右节点为null
else if (cur->_right == nullptr)
{
//*****************************
//要删除的节点等于根节点
if (cur == _root)
{
//让根节点往右走就行了
_root = cur->_left;
}
//*****************************
else
{
//父节点的左节点等于cur
if (parent->_left == cur)
{
//cur节点的右节点为null，用cur的左节点和父节点连接
parent->_left = cur->_left;
}
else
{
//cur节点的右节点为null，用cur的左节点和父节点连接
parent->_right = cur->_left;
}
}
delete cur;
}
else//左，右都不为空的情况
{
//找右子树最小的节点（最左）替代我的位置
//保存cur的右节点
Node* mincur = cur->_right;
//这个给cur,解决没有就循环就没有刷新的问题
Node* tab = cur;
while (mincur->_left != nullptr)
{
//保存上一个节点
tab = mincur;
//一直往左边节点走，
mincur = mincur->_left;
}
//一直往左边节点走，找到最小的那个，赋值给cur
cur->_key = mincur->_key;
//删除的节点为根节点，右节点为mincur
if (tab->_right == mincur)
{
//tab右节点和mincur右节点进行连接
tab->_right = mincur->_right;
}
else //左节点为mincur
{
//tab的左边，和mincur的右边进行连接
tab->_left = mincur->_right;
}
delete mincur;
}
return true;
}
}
return false;
}
//用来调用中序遍历
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
private:
//中序遍历
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << " ";
_InOrder(root->_right);
}
Node* _root = nullptr;
};
}
test.cpp【测试】
#include"Search for a binary tree.h"
int main()
{
int a[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };
key::BStree<int> t;
for (auto i : a)
{
t.insert(i);
}
t.InOrder();
cout << t.find(9) << endl;
for (auto i : a)
{
t.Erase(i);
t.InOrder();
}
}⼆叉搜索树key和key/value使⽤场景
只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断 key在不在。key的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持增删查，但是不⽀持修改，修改key破坏搜索树结 构了。
场景1：⼩区⽆⼈值守⻋库，⼩区⻋库买了⻋位的业主⻋才能进⼩区，那么物业会把买了⻋位的业主的 ⻋牌号录⼊后台系统，⻋辆进⼊时扫描⻋牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提⽰⾮本⼩区⻋辆，⽆ 法进⼊。
场景2：检查⼀篇英⽂⽂章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放⼊⼆叉搜索树，读取⽂章中的单 词，查找是否在⼆叉搜索树中，不在则波浪线标红提⽰。
key/value搜索场景
每⼀个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。树的结构中(结点)除了需要存 储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字⾛⼆叉搜索树的规则进⾏⽐较，可以快速查 找到key对应的value。key/value的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持修改，但是不⽀持修改key，修 改key破坏搜索树结构了，可以修改value。
场景1：简单中英互译字典，树的结构中(结点)存储key(英⽂)和vlaue(中⽂)，搜索时输⼊英⽂，则同时 查找到了英⽂对应的中⽂。
场景2：商场⽆⼈值守⻋库，⼊⼝进场时扫描⻋牌，记录⻋牌和⼊场时间，出⼝离场时，扫描⻋牌，查 找⼊场时间，⽤当前时间-⼊场时间计算出停⻋时⻓，计算出停⻋费⽤，缴费后抬杆，⻋辆离场。
场景3：统计⼀篇⽂章中单词出现的次数，读取⼀个单词，查找单词是否存在，不存在这个说明第⼀次 出现，（单词，1），单词存在，则++单词对应的次数。
key/value⼆叉搜索树代码实现
Search for a binary tree.h
#pragma once
#include<iostream>
using namespace std;
namespace key
{
//节点
template<class K,class V>
struct BS_Node
{
K _key;
V _val;
BS_Node<K,V>* _left;//左
BS_Node<K,V>* _right;//右
//构造-用于申请新节点后初始化
BS_Node(const K& key,const V& val)
:_key(key)
,_val(val)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
{}
};
template<class K,class V>
class BStree
{
typedef BS_Node<K,V> Node;
public:
//插入
bool insert(const K& key,const V&val)
{
//根节点为空
if (_root == nullptr)
{
//当前就给根节点
_root = new Node(key,val);
}
//parent用于记录上一个节点，用来和新节点连接
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
//循环到cur为空，就停下来
while (cur != nullptr)
{
//key小于当前节点往左边走
if (key < cur->_key)
{
//记录上一个节点
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
//key大于当前节点往右边走
else if (key > cur->_key)
{
//记录上一个节点
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
return false;
}
}
//new一块新节点给cur
cur = new Node(key,val);
if (key < parent->_key)
{
//小于，和左边连接
parent->_left = cur;
}
else
{
//大于，和右边连接
parent->_right = cur;
}
return true;
}
//查询
Node* find(const K& key)
{
//从根节点开始查询
Node* cur = _root;
while (cur != nullptr)
{
//小于当前节点，往左走
if (key < cur->_key)
{
cur = cur->_left;
}
//大于当前节点，往右走
else if (key > cur->_key)
{
cur = cur->_right;
}
else
{
//找到了返回当前节点
return cur;
}
}
//找不到返回空
return nullptr;
}
//删除
bool Erase(const K& key)
{
//查找
Node* cur = _root;
//parent用来记录上一个节点
Node* parent = nullptr;
while (cur != nullptr)
{
if (key < cur->_key)
{
//parent记录上一个节点
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (key > cur->_key)
{
//parent记录上一个节点
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else//找到了进行删除
{
//当前节点的左节点为null
if (cur->_left == nullptr)
{
//*****************************
//要删除的节点等于根节点
if (cur == _root)
{
//让根节点往右走就行了
_root = cur->_right;
}
//*****************************
else
{
//父节点的左节点等于cur
if (parent->_left == cur)
{
//cur节点的左节点为null，用cur的右节点和父节点连接
parent->_left = cur->_right;
}
else
{
//cur节点的左节点为null，用cur的右节点和父节点连接
parent->_right = cur->_right;
}
}
delete cur;
}
//当前节点的右节点为null
else if (cur->_right == nullptr)
{
//*****************************
//要删除的节点等于根节点
if (cur == _root)
{
//让根节点往右走就行了
_root = cur->_left;
}
//*****************************
else
{
//父节点的左节点等于cur
if (parent->_left == cur)
{
//cur节点的右节点为null，用cur的左节点和父节点连接
parent->_left = cur->_left;
}
else
{
//cur节点的右节点为null，用cur的左节点和父节点连接
parent->_right = cur->_left;
}
}
delete cur;
}
else//左，右都不为空的情况
{
//找右子树最小的节点（最左）替代我的位置
//保存cur的右节点
Node* mincur = cur->_right;
//这个给cur,解决没有就循环就没有刷新的问题
Node* tab = cur;
while (mincur->_left != nullptr)
{
//保存上一个节点
tab = mincur;
//一直往左边节点走，
mincur = mincur->_left;
}
//一直往左边节点走，找到最小的那个，赋值给cur
cur->_key = mincur->_key;
//删除的节点为根节点，右节点为mincur
if (tab->_right == mincur)
{
//tab右节点和mincur右节点进行连接
tab->_right = mincur->_right;
}
else //左节点为mincur
{
//tab的左边，和mincur的右边进行连接
tab->_left = mincur->_right;
}
delete mincur;
}
return true;
}
}
return false;
}
//用来调用中序遍历
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
private:
//中序遍历
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << " " <<_root->_val <<endl;
_InOrder(root->_right);
}
Node* _root = nullptr;
};
}
test.cpp
int main()
{
string arr[] = { "苹果","香蕉","香蕉","西瓜", "苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜",
"苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉","香蕉","香蕉" };
key::BStree<string, int> countTree;
for (auto& e : arr)
{
//key_value::BSTNode<string, int>* ret = countTree.Find(e);
auto ret = countTree.find(e);
if (ret == nullptr)
{
countTree.insert(e, 1);
}
else
{
ret->_val++;
}
}
countTree.InOrder();
return 0;
}
场景1：简单中英互译字典，树的结构中(结点)存储key(英⽂)和vlaue(中⽂)，搜索时输⼊英⽂，则同时 查找到了英⽂对应的中⽂。
//int main()
//{
// key::BStree<string, string> dict;
// //BSTree<string, string> copy = dict;
// dict.insert("left", "左边");
// dict.insert("right", "右边");
// dict.insert("insert", "插⼊");
// dict.insert("string", "字符串");
// string str;
// while (cin >> str)
// {
// auto ret = dict.find(str);
// if (ret)
// {
// cout << "->" << ret->_val << endl;
// }
// else
// {
// cout << "⽆此单词，请重新输⼊" << endl;
// }
// }
// return 0;
//}