【离散数学】关系闭包运算的性质

关系闭包运算是关系代数中的一个重要概念，它用于通过一系列运算来生成一个关系的闭包，即包含原关系的所有可能的“扩展”形式。关系闭包主要有三种类型：传递闭包、对称闭包和自反闭包。每种闭包运算都有一些性质，我们将逐个分析这些性质，并通过详细的例子和图形来加以说明。

1. 传递闭包（Transitive Closure）

定义： 传递闭包是给定一个关系 RR 和一集合 AA，通过不断加入能通过已有关系到达的元素来构建最小的传递关系。传递闭包 R+R^+ 满足以下性质：如果 a→ba \rightarrow b 且 b→cb \rightarrow c，那么 a→ca \rightarrow c。

性质：

传递性：关系 R+R^+ 必定是传递的。

最小性：传递闭包是包含原关系 RR 的最小传递关系。也就是说，任何包含 RR 且传递的关系都包含 R+R^+。

自反性：对于每个元素 aa，都有 a→aa \rightarrow a，即传递闭包通常是自反的。

例子： 假设我们有一个关系 R={(1,2),(2,3)}R = \{ (1, 2), (2, 3) \}，那么这个关系是非传递的，因为没有直接的关系 1→31 \rightarrow 3。

为了得到传递闭包，我们需要添加 (1,3)(1, 3)，即：

R+={(1,2),(2,3),(1,3)}R^+ = \{ (1, 2), (2, 3), (1, 3) \}

图形解析：

我们可以画出这个关系的有向图。图中每个点表示集合中的元素，每条有向边表示关系。

初始图：

有向边：1→21 \rightarrow 2, 2→32 \rightarrow 3

添加传递闭包关系：

添加 1→31 \rightarrow 3

这样，我们得到了一个完整的传递闭包关系图。

2. 对称闭包（Symmetric Closure）

定义： 对称闭包是给定一个关系 RR 和集合 AA，通过反向添加已有的关系来构建最小的对称关系。对称闭包 RSR^S 满足以下性质：如果 a→ba \rightarrow b，则 b→ab \rightarrow a。

性质：

对称性：关系 RSR^S 是对称的，即如果存在 a→ba \rightarrow b，则必定存在 b→ab \rightarrow a。

最小性：对称闭包是包含原关系 RR 的最小对称关系。任何包含 RR 且对称的关系都包含 RSR^S。

例子： 假设关系 R={(1,2),(2,3)}R = \{ (1, 2), (2, 3) \}，那么对称闭包会包含反向关系。因此，原关系 RR 中的每一条边都会添加一条反向边。

RS={(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)}R^S = \{ (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2) \}

图形解析：

初始图：

有向边：1→21 \rightarrow 2, 2→32 \rightarrow 3

对称闭包：

添加反向边：2→12 \rightarrow 1, 3→23 \rightarrow 2

3. 自反闭包（Reflexive Closure）

定义： 自反闭包是给定一个关系 RR 和集合 AA，通过添加自反关系来构建最小的自反关系。自反闭包 RRR^R 满足以下性质：对于每个元素 a∈Aa \in A，都有 a→aa \rightarrow a。

性质：

自反性：关系 RRR^R 是自反的，即每个元素都会与自己有关系。

最小性：自反闭包是包含原关系 RR 的最小自反关系。任何包含 RR 且自反的关系都包含 RRR^R。

例子： 假设关系 R={(1,2),(2,3)}R = \{ (1, 2), (2, 3) \}，自反闭包需要加入每个元素的自反关系。原关系中有元素 1 和 2，因此需要添加 (1,1)(1, 1) 和 (2,2)(2, 2)。

RR={(1,2),(2,3),(1,1),(2,2)}R^R = \{ (1, 2), (2, 3), (1, 1), (2, 2) \}

图形解析：

初始图：

有向边：1→21 \rightarrow 2, 2→32 \rightarrow 3

自反闭包：

添加自反边：1→11 \rightarrow 1, 2→22 \rightarrow 2

4. 结合性质

多个闭包运算可以结合使用，具体结合方式取决于所需的运算。例如，传递闭包和对称闭包可以同时应用，产生既对称又传递的闭包。

5. 闭包的最小性

闭包运算的最小性是指，每种闭包运算所得到的关系是包含原关系的最小“扩展”，即仅通过加入必要的元素（反向边、传递关系等）而不是多余的关系，保证满足特定的闭包条件。

总结

传递闭包：添加通过已有关系可以推导出的关系，保证传递性。

对称闭包：添加反向关系，保证对称性。

自反闭包：添加每个元素的自反关系，保证自反性。

这些闭包运算在图论、数据库理论、计算机科学等领域有广泛的应用，特别是在关系数据库中的外键约束、图遍历等问题中，闭包运算能够帮助推导出新的关系或节点。

关系闭包运算的性质是关系代数中的一个重要部分，主要用于处理二元关系并进行一系列的变换或扩展。在关系代数中，闭包运算通常包括自反闭包、对称闭包、传递闭包等。集合表达式通常涉及对集合的操作，特别是在关系的基础上，通过运算来得到关系的某种“扩展”或“闭包”。

1. 自反闭包 (Reflexive Closure)

自反闭包是指在给定关系上添加所有必要的自反关系，使得所有元素都与自己有关系。如果一个关系 RR 中没有满足自反性质的元素对，则自反闭包运算会加入这些元素对。

定义：给定一个集合 AA，如果 R⊆A×AR \subseteq A \times A 是一个关系，RR 的自反闭包是 R+=R∪{(a,a)∣a∈A}R^+ = R \cup \{(a, a) | a \in A \}。

例子： 假设有一个集合 A={1,2,3}A = \{1, 2, 3\}，以及关系 R={(1,2),(2,3)}R = \{(1, 2), (2, 3)\}，那么 RR 的自反闭包将包含所有元素对 (a,a)(a, a)，例如 (1,1),(2,2),(3,3)(1, 1), (2, 2), (3, 3)，以及原有的关系 RR 中的元素。

R={(1,2),(2,3)}R = \{(1, 2), (2, 3)\}

自反闭包 R+={(1,2),(2,3),(1,1),(2,2),(3,3)}R^+ = \{(1, 2), (2, 3), (1, 1), (2, 2), (3, 3)\}

2. 对称闭包 (Symmetric Closure)

对称闭包是指对于给定关系 RR，如果 (a,b)∈R(a, b) \in R，那么 (b,a)(b, a) 也要被加入到关系中，使得关系变得对称。

定义：给定一个关系 RR，其对称闭包是 Rs=R∪{(b,a)∣(a,b)∈R}R^s = R \cup \{(b, a) | (a, b) \in R \}。

例子： 假设有集合 A={1,2,3}A = \{1, 2, 3\}，以及关系 R={(1,2),(2,3)}R = \{(1, 2), (2, 3)\}，那么 RR 的对称闭包将加入 (2,1)(2, 1) 和 (3,2)(3, 2)，使得 RR 对称。

R={(1,2),(2,3)}R = \{(1, 2), (2, 3)\}

对称闭包 Rs={(1,2),(2,3),(2,1),(3,2)}R^s = \{(1, 2), (2, 3), (2, 1), (3, 2)\}

3. 传递闭包 (Transitive Closure)

传递闭包是指对于关系 RR，如果 (a,b)∈R(a, b) \in R 且 (b,c)∈R(b, c) \in R，则应该加入 (a,c)(a, c) 使得关系具有传递性。

定义：给定关系 RR，其传递闭包是包含所有通过传递规则可以得出的元素对的关系。可以通过迭代地将满足传递条件的对加入关系来构造传递闭包。

例子： 假设有集合 A={1,2,3}A = \{1, 2, 3\}，以及关系 R={(1,2),(2,3)}R = \{(1, 2), (2, 3)\}，那么根据传递闭包的定义，如果 (1,2)∈R(1, 2) \in R 和 (2,3)∈R(2, 3) \in R，我们可以得出 (1,3)(1, 3)。因此，传递闭包将包含 (1,3)(1, 3)。

R={(1,2),(2,3)}R = \{(1, 2), (2, 3)\}

传递闭包 Rt={(1,2),(2,3),(1,3)}R^t = \{(1, 2), (2, 3), (1, 3)\}

4. 自反-对称-传递闭包 (Reflexive-Symmetric-Transitive Closure)

在某些情况下，可能需要计算一个复合闭包，它同时满足自反、对称和传递性。这通常用来构造一个等价关系（比如等价类）。

定义：自反-对称-传递闭包是满足自反性、对称性和传递性所有性质的闭包，它是通过同时执行上述三个闭包运算来构建的。

例子： 假设有集合 A={1,2,3}A = \{1, 2, 3\}，关系 R={(1,2),(2,3)}R = \{(1, 2), (2, 3)\}，首先，我们需要计算自反闭包、对称闭包和传递闭包。

自反闭包：R+={(1,2),(2,3),(1,1),(2,2),(3,3)}R^+ = \{(1, 2), (2, 3), (1, 1), (2, 2), (3, 3)\}

对称闭包：Rs={(1,2),(2,3),(2,1),(3,2),(1,1),(2,2),(3,3)}R^s = \{(1, 2), (2, 3), (2, 1), (3, 2), (1, 1), (2, 2), (3, 3)\}

传递闭包：通过传递规则推导，得到 Rt={(1,2),(2,3),(2,1),(3,2),(1,1),(2,2),(3,3),(1,3),(3,1)}R^t = \{(1, 2), (2, 3), (2, 1), (3, 2), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 3), (3, 1)\}

最终的复合闭包（自反-对称-传递闭包）是 R∗={(1,2),(2,3),(2,1),(3,2),(1,1),(2,2),(3,3),(1,3),(3,1)}R^* = \{(1, 2), (2, 3), (2, 1), (3, 2), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 3), (3, 1)\}。

总结

关系闭包运算的基本性质和集合表达式是通过对关系进行扩展，确保它们满足某些特定的性质（自反性、对称性、传递性）。每种闭包运算都是在原有关系的基础上，添加符合要求的元素对，使得关系满足所需的性质。

通过具体的例子可以清晰地看到闭包运算是如何改变和扩展原始关系的，确保关系符合更严格的要求。

反对称性闭包和传递性闭包是两种常见的关系闭包运算，它们分别用于确保关系满足反对称性和传递性。以下是这两种闭包的详细解释，并给出它们的集合表达式及例子。

### 1. **反对称性闭包 (Antisymmetric Closure)**

**反对称性**是指如果一个关系中存在两个元素 \( a \) 和 \( b \)，且 \( (a, b) \in R \) 和 \( (b, a) \in R \)，那么必须有 \( a = b \)。

反对称性闭包是指在给定的关系中添加必要的元素，确保关系变得反对称。换句话说，对于每一对 \( (a, b) \) 和 \( (b, a) \)，如果 \( a \neq b \)，我们将删除这对元素，以确保不违反反对称性。

#### **反对称性闭包的集合表达式**：
给定关系 \( R \) 和集合 \( A \)，反对称性闭包 \( R^{as} \) 可以通过以下步骤构造：

1. 找到关系中所有存在的 \( (a, b) \) 和 \( (b, a) \)，如果 \( a \neq b \)，从关系中去除这些元素。
2. 保留 \( (a, b) \) 和 \( (b, a) \) 只有在 \( a = b \) 的情况下。

**反对称性闭包的定义**：
\[
R^{as} = \{(a, b) \in R \mid a = b \text{ or } (a, b) \notin R \text{ and } (b, a) \notin R \}
\]

#### **例子**：
假设集合 \( A = \{1, 2, 3\} \)，关系 \( R = \{(1, 2), (2, 1), (2, 3)\} \)。

- 关系 \( R \) 中有 \( (1, 2) \) 和 \( (2, 1) \)，而且 \( 1 \neq 2 \)，这违反了反对称性，因此我们需要去除这对元素。
- 其他元素（如 \( (2, 3) \)）不需要修改，因为它们不违反反对称性。

所以反对称性闭包 \( R^{as} \) 为：
\[
R^{as} = \{(2, 3)\}
\]

### 2. **传递性闭包 (Transitive Closure)**

**传递性**是指对于关系 \( R \)，如果 \( (a, b) \in R \) 和 \( (b, c) \in R \)，那么必须有 \( (a, c) \in R \)，即关系必须满足传递性。

传递性闭包是通过添加缺失的传递对来确保关系是传递的。具体地，若在关系 \( R \) 中存在 \( (a, b) \) 和 \( (b, c) \)，且 \( (a, c) \) 不在关系中，则将 \( (a, c) \) 添加到关系中，直到所有传递对都被添加完。

#### **传递性闭包的集合表达式**：
给定关系 \( R \)，其传递性闭包 \( R^t \) 是通过反复将满足传递性条件的元素对添加到关系中，直到不能再添加为止。可以用以下步骤描述构造过程：

1. 对于所有 \( (a, b) \in R \) 和 \( (b, c) \in R \)，如果 \( (a, c) \notin R \)，则加入 \( (a, c) \)。
2. 重复此过程直到所有可以通过传递推导出的对都被加入关系中。

**传递性闭包的定义**：
\[
R^t = R \cup \{(a, c) \mid \exists b \text{ such that } (a, b) \in R \text{ and } (b, c) \in R \}
\]

#### **例子**：
假设集合 \( A = \{1, 2, 3\} \)，关系 \( R = \{(1, 2), (2, 3)\} \)。

- 关系 \( R \) 中包含 \( (1, 2) \) 和 \( (2, 3) \)，因此根据传递性，应该添加 \( (1, 3) \)。
- 所以，传递性闭包 \( R^t \) 为：
\[
R^t = \{(1, 2), (2, 3), (1, 3)\}
\]

### 总结

- **反对称性闭包**通过去除不满足反对称性条件的对来确保关系是反对称的。对于每一对 \( (a, b) \) 和 \( (b, a) \)，如果 \( a \neq b \)，就删除这些对。
 
- **传递性闭包**通过添加缺失的传递对来确保关系是传递的。对于每一对 \( (a, b) \) 和 \( (b, c) \)，如果 \( (a, c) \) 不在关系中，则添加 \( (a, c) \)。

这两种闭包运算分别确保关系满足不同的性质，通常用于构造满足特定要求的关系。