【离散数学】集合关于其上等价关系的商集【1】

求商集（quotient set）通常是指在某个集合上给定一个等价关系之后，求出该等价关系下的商集，也就是将集合中的元素按等价关系分成若干个等价类，然后求得这些等价类所组成的集合。

为了更清晰地解释，我会通过几个例子来展示如何求商集。

### 例子 1：集合上的等价关系

**问题**：设集合 \( S = \{1, 2, 3, 4, 5\} \)，定义等价关系 \( \sim \)，其规则是两个数 \( x \) 和 \( y \) 在 \( S \) 中等价，当且仅当 \( x \) 和 \( y \) 的差是偶数。求商集 \( S / \sim \)。

**解法**：
1. 首先明确等价关系的规则：\( x \sim y \) 当且仅当 \( x - y \) 是偶数。这意味着 \( x \) 和 \( y \) 的同余类是 \( x \equiv y \pmod{2} \)，也就是说，两个数的奇偶性相同，它们是等价的。
2. 将 \( S \) 中的元素根据奇偶性分组：
   - 偶数：\( \{2, 4\} \)
   - 奇数：\( \{1, 3, 5\} \)
   
   所以，商集 \( S / \sim \) 由两类组成：
   \[
   S / \sim = \{\{1, 3, 5\}, \{2, 4\}\}
   \]

### 例子 2：划分集合的等价关系

**问题**：设集合 \( A = \{1, 2, 3, 4\} \)，定义等价关系 \( \sim \)，其规则是 \( x \sim y \) 当且仅当 \( x \) 和 \( y \) 的差是3的倍数。求商集 \( A / \sim \)。

**解法**：
1. 等价关系规则是 \( x \sim y \) 当且仅当 \( x - y \) 是3的倍数，即 \( x \equiv y \pmod{3} \)。
2. 将 \( A \) 中的元素按照模3的同余类进行分组：
   - 同余类 \( 0 \pmod{3} \)：\( \{3\} \)
   - 同余类 \( 1 \pmod{3} \)：\( \{1, 4\} \)
   - 同余类 \( 2 \pmod{3} \)：\( \{2\} \)
   
   因此，商集 \( A / \sim \) 为：
   \[
   A / \sim = \{\{1, 4\}, \{2\}, \{3\}\}
   \]

### 例子 3：字符串上的等价关系

**问题**：设集合 \( B = \{ \text{"aab"}, \text{"aba"}, \text{"baa"}, \text{"abc"} \} \)，定义等价关系 \( \sim \)，其规则是两个字符串等价当且仅当它们是由相同字母组成的（即字符集合相同）。求商集 \( B / \sim \)。

**解法**：
1. 等价关系的规则是“由相同字母组成”。因此，我们需要将字符串按字符集合进行分组。
2. 对每个字符串提取它的字符集合：
   - "aab" 的字符集合是 \( \{a, b\} \)
   - "aba" 的字符集合是 \( \{a, b\} \)
   - "baa" 的字符集合是 \( \{a, b\} \)
   - "abc" 的字符集合是 \( \{a, b, c\} \)
   
3. 根据这些字符集合，分组为：
   - \( \{ \text{"aab"}, \text{"aba"}, \text{"baa"} \} \)
   - \( \{ \text{"abc"} \} \)
   
   因此，商集 \( B / \sim \) 为：
   \[
   B / \sim = \{\{\text{"aab"}, \text{"aba"}, \text{"baa"}\}, \{\text{"abc"}\}\}
   \]

### 例子 4：二维平面上的等价关系

**问题**：设集合 \( \mathbb{R}^2 \) 表示二维平面上的所有点，定义等价关系 \( \sim \)，其中 \( (x_1, y_1) \sim (x_2, y_2) \) 当且仅当 \( x_1 + y_1 = x_2 + y_2 \)。求商集 \( \mathbb{R}^2 / \sim \)。

**解法**：
1. 等价关系的规则是“点的横纵坐标之和相等”。我们可以将每个点的坐标和看作一个常数，并按这个常数来分组。
2. 将每个点 \( (x, y) \) 映射到 \( x + y \)，即所有点将按它们的坐标和进行分组。
3. 对于每个常数 \( c = x + y \)，构造一个等价类。等价类的形式是 \( \{ (x, y) \mid x + y = c \} \)。

因此，商集 \( \mathbb{R}^2 / \sim \) 是由所有不同的 \( c \) 形成的集合，其中每个 \( c \) 代表一个直线上的点集合，形式为：
\[
\mathbb{R}^2 / \sim = \{ \{(x, y) \mid x + y = c \} \mid c \in \mathbb{R} \}
\]
这实际上是平面上的所有斜率为-1的直线。

### 总结

在求商集时，关键步骤是：
1. 理解并明确等价关系的规则。
2. 根据等价关系的规则，将集合中的元素分成若干个等价类。
3. 最终得到的商集是这些等价类的集合。

这些例子展示了不同的等价关系如何影响商集的结构，从而帮助你理解商集的求法。