【高等数学学习记录】洛必达法则

一、知识点

1. 定理1（洛必达法则）

   设

   (1) 当 $x\to a$ 时，函数 $f(x)$ 及 $F(x)$ 都趋于零；

   (2) 在点 $a$ 的某去心邻域内，$f^{\prime }(x)$ 及 $F^{\prime }(x)$ 都存在且 $F^{\prime }(x)\ne 0$；

   (3) ${\lim }_{x\to a}\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}$ 存在（或为无穷大），

   那么 ${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)}{F(x)}={\lim }_{x\to a}\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}$.

2. 定理2

   设

   (1) 当 $x\to \infty$ 时，函数 $f(x)$ 及 $F(x)$ 都趋于零；

   (2) 当 $|x|>N$ 时 $f^{\prime }(x)$ 与 $F^{\prime }(x)$ 都存在，且 $F^{\prime }(x)\ne 0$;

   (3) ${\lim }_{x\to \infty }\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}$ 存在（或为无穷大），

   那么，${\lim }_{x\to \infty }\frac{f(x)}{F(x)}={\lim }_{x\to \infty }\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}$.

二、练习题

1. 用洛必达法则求下列极限：

• (1) ${\lim }_{x\to 0}\frac{ln(1+x)}{x}={\lim }_{x\to 0}\frac{1}{1+x}=1$

• (2) ${\lim }_{x\to 0}\frac{e^x-e^{-x}}{sinx}={\lim }_{x\to 0}\frac{e^x+e^x}{cosx}=2$

• (3) ${\lim }_{x\to a}\frac{sinx-sina}{x-a}={\lim }_{x\to a}\frac{cosx}{1}=cosa$

• (4) ${\lim }_{x\to \pi }\frac{sin3x}{tan5x}={\lim }_{x\to \pi }\frac{3cosx}{5se{c}^{2}x}=-\frac{3}{5}$

• (5) ${\lim }_{x\to \frac{\pi }{2}}\frac{lnsinx}{(\pi -2x{)}^2}={\lim }_{x\to \frac{\pi }{2}}\frac{cotx}{-4(\pi -2x)}={\lim }_{x\to \frac{\pi }{2}}\frac{-cs{c}^{2}x}{8}=\frac{1}{8}$

• (6) ${\lim }_{x\to a}\frac{x^m-a^m}{x^n-a^n}={\lim }_{x\to a}\frac{m{x}^{m-1}}{n{x}^{n-1}}=\frac{m{a}^{m-1}}{n{a}^{n-1}}$

• (7) ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{lntan7x}{lntan2x}={\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{\frac{7se{c}^{2}7x}{tan7x}}{\frac{2se{c}^{2}2x}{tan2x}}={\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{7sin2xcos2x}{2sin7xcos7x}={\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{cos2x}{cos7x}=1$

• (8) ${\lim }_{x\to \frac{\pi }{2}}\frac{tanx}{tan3x}={\lim }_{x\to \frac{\pi }{2}}\frac{sinxcos3x}{cosxsin3x}={\lim }_{x\to \frac{\pi }{2}}\frac{cos3x}{cosx}=3$

• (9) ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{ln(1+\frac{1}{x})}{arccotx}={\lim }_{x\to +\infty }\frac{-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x}}\cdot (-1-x^2)={\lim }_{x\to +\infty }\frac{x^2+1}{x^2+x}=1$

• (10) ${\lim }_{x\to 0}\frac{ln(1+x^2)}{secx-cosx}={\lim }_{x\to 0}\frac{2x}{(1+x^2)(secxtanx+sinx)}={\lim }_{x\to 0}\frac{2}{(1+x^2)(se{c}^{2}x+1)}\cdot {\lim }_{x\to 0}\frac{x}{sinx}=1$

• (11) ${\lim }_{x\to 0}xcot2x={\lim }_{x\to 0}\frac{2x}{sin2x}\cdot {\lim }_{x\to 0}\frac{cos2x}{2}=\frac{1}{2}$

• (12) ${\lim }_{x\to 0}{x}^2{e}^{\frac{1}{x^2}}$

  令 $t=\frac{1}{x^2}$

  原式 $={\lim }_{t\to +\infty }\frac{e^t}{t}={\lim }_{t\to +\infty }{e}^t=+\infty$

• (13) ${\lim }_{x\to 1}(\frac{2}{x^2-1}-\frac{1}{x-1})={\lim }_{x\to 1}\frac{1-x}{(x+1)(x-1)}={\lim }_{x\to 1}\frac{-1}{x+1}=-\frac{1}{2}$

• (14) ${\lim }_{x\to \infty }(1+\frac{a}{x}{)}^x={\lim }_{x\to \infty }[(1+\frac{a}{x}{)}^{\frac{x}{a}}{]}^a=e^a$

• (15) ${\lim }_{x\to 0^{+}}{x}^{sinx}={\lim }_{x\to 0^{+}}{e}^{sinx\cdot lnx}=e^{{\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{sinx}{x}\cdot xlnx}=e^{{\lim }_{x\to 0^{+}}xlnx}=e^{{\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{lnx}{\frac{1}{x}}}=e^{{\lim }_{x\to 0^{+}}-x}=1$

2. 验证极限 ${\lim }_{x\to \infty }\frac{x+sinx}{x}$ 存在，但不能用洛必达法则得出.

• 解：

  ${\lim }_{x\to \infty }\frac{x+sinx}{x}={\lim }_{x\to \infty }(1+\frac{sinx}{x})=1+{\lim }_{x\to \infty }\frac{sinx}{x}=1+0=1$

  如果利用洛必达法则：

  原式 $={\lim }_{x\to \infty }\frac{1+cosx}{1}={\lim }_{x\to \infty }(1+cosx)$，极限不存在

  $\therefore$ 极限 ${\lim }_{x\to \infty }\frac{x+sinx}{x}$ 存在，但不能用洛必达法则得出

3. 验证极限 ${\lim }_{x\to \infty }\frac{x^{2}sin\frac{1}{x}}{sinx}$ 存在，但不能用洛必达法则得出.

• 解：

  ${\lim }_{x\to \infty }\frac{x^{2}sin\frac{1}{x}}{sinx}={\lim }_{x\to \infty }\frac{x}{sinx}\cdot xsin\frac{1}{x}=0$

  如果利用洛必达法则：

  ${\lim }_{x\to \infty }\frac{x^{2}sin\frac{1}{x}}{sinx}={\lim }_{x\to \infty }\frac{2xsin\frac{1}{x}+x^{2}cos\frac{1}{x}(-\frac{1}{x^2})}{cosx}={\lim }_{x\to \infty }\frac{2xsin\frac{1}{x}-cos\frac{1}{x}}{cosx}$，极限不存在

  $\therefore$ 极限 ${\lim }_{x\to \infty }\frac{x^{2}sin\frac{1}{x}}{sinx}$ 存在，但不能用洛必达法则得出

4. 讨论函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}[\frac{(1+x{)}^{\frac{1}{x}}}{e}{]}^{\frac{1}{x}},& x>0\\ e^{-\frac{1}{2}},& x\le 0\end{array}$，在点 $x=0$ 处的连续性.

• 解：

  ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{-}}{e}^{-\frac{1}{2}}=e^{-\frac{1}{2}}$

  ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}[\frac{(1+x{)}^{\frac{1}{x}}}{e}{]}^{\frac{1}{x}}={\lim }_{x\to 0^{+}}{e}^{\frac{\frac{1}{x}ln(1+x)-1}{x}}=e^{{\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{ln(1+x)-x}{x^2}}=e^{{\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{-x}{2x(1+x)}}=e^{-\frac{1}{2}}$

  $\therefore {\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=e^{-\frac{1}{2}}=f(0)$

  $\therefore f(x)$ 在 $x=0$ 处连续

• 学习资料
  1.《高等数学（第六版）》 ，同济大学数学系 编

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