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电机瞬态分析基础（6）：坐标变换（续）

article 2024/12/1 13:00:39

1. 三相静止坐标系与两相任意旋转坐标系的坐标变换―xy0坐标变换（续）

在上一节的式（5）中， $C_{3s/2r}$ 为静止三相坐标系变换到两相旋转坐标系的变换矩阵（系数）；式（4）中， $C_{2r/3s}$ 则为两相旋转坐标系变换到静止三相坐标系的变换矩阵。

$C_{3s/2r} = \frac{2}{3} \left[ \begin{array}{ccc} \cos\theta & \cos(\theta-120^\circ) & \cos(\theta+120^\circ) \\ -\sin\theta & -\sin(\theta-120^\circ) & -\sin(\theta+120^\circ) \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array} \right]$ (1)

$C_{2r/3s} = \left[ \begin{array}{ccc} \cos\theta & -\sin\theta & 1 \\ \cos(\theta-120^\circ) & -\sin(\theta-120^\circ) & 1 \\ \cos(\theta+120^\circ) & -\sin(\theta+120^\circ) & 1 \end{array} \right]$ (2)

上述三相系统与两相系统的坐标变换常称为帕克（Park）变换。在Park变换中， $C_{3s/2r} = C_{2r/3s}^{-1} \neq C_{2r/3s}^T$ ，因此帕克（Park）变换不满足功率不变约束。

由坐标变换前后，保持绕组产生的气隙基波合成磁动势相等，也可以得到上述的变换矩阵：

电流 $i_{A}$ 、 $i_{B}$ 、 $i_{C}$ 产生的磁动势在x、y轴上的分量（投影）应分别与电流 $i_{x}$ 、 $i_{y}$ 产生的磁动势相等。设A、B、C轴绕组的有效匝数为 $N_{1}$ ，x、y轴绕组有效匝数为 $N_{xy}$ ，有

$\begin{array}{l} N_{1}\left[i_{A}\cos\theta+i_{B}\cos(\theta-120^{\circ})+i_{C}\cos(\theta+120^{\circ})\right] = i_{x} N_{xy} \\ -N_{1}\left[i_{A}\sin\theta+i_{B}\sin(\theta-120^{\circ})+i_{C}\sin(\theta+120^{\circ})\right] = i_{y} N_{xy} \end{array}$ (3)

三相绕组合成磁动势的幅值为一相绕组磁动势幅值的3/2倍，若设 $i_{x}$ 、 $i_{y}$ 与 $i_{A}$ 、 $i_{B}$ 、 $i_{C}$ 相电流的幅值相等，则有 $N_{xy}=\frac{3}{2}N_{1}$ 。考虑到零轴分量，则有

$\begin{array}{c} i_{x} = \frac{2}{3} \left[ i_{A}\cos\theta + i_{B}\cos(\theta-120^{\circ}) + i_{C}\cos(\theta+120^{\circ}) \right] \\ i_{y} = -\frac{2}{3} \left[ i_{A}\sin\theta + i_{B}\sin(\theta-120^{\circ}) + i_{C}\sin(\theta+120^{\circ}) \right] \\ i_{0} = \frac{1}{3} \left( i_{A} + i_{B} + i_{C} \right) \end{array}$ (4)

式（4）的矩阵式与上一节式（3）相同，从而得到相同的变换矩阵。

下面导出满足功率不变约束的正交变换的坐标变换矩阵。采用正交变换时，在坐标变换中仍需保持总磁动势不变。由变换前后磁动势不变，考虑到零轴分量使变换矩阵凑成方阵和正交变换的条件，有

$\begin{array}{c} i_{x} = \frac{N_{1}}{N_{xy}} \left[ i_{A}\cos\theta + i_{B}\cos(\theta-120^{\circ}) + i_{C}\cos(\theta+120^{\circ}) \right] \\ i_{y} = -\frac{N_{1}}{N_{xy}} \left[ i_{A}\sin\theta + i_{B}\sin(\theta-120^{\circ}) + i_{C}\sin(\theta+120^{\circ}) \right] \\ i_{0} = \frac{N_{1}}{N_{xy}} k (i_{A} + i_{B} + i_{C}) \end{array}$ （5）

则静止三相变换到任意速两相旋转坐标系的变换矩阵

$C_{3s/2r} = \frac{N_1}{N_{xy}} \left[ \begin{array}{ccc} \cos\theta & \cos(\theta-120^\circ) & \cos(\theta+120^\circ) \\ -\sin\theta & -\sin(\theta-120^\circ) & -\sin(\theta+120^\circ) \\ k & k & k \end{array} \right]$ （6）

只要选取 $K\neq 0$ ，则 $C_{3s/2r}$ 可逆，其逆矩阵为

$C_{3s/2r}^{-1} = C_{2r/3s} = \frac{2}{3} \frac{N_{xy}}{N_1} \left[ \begin{array}{ccc} \cos\theta & -\sin\theta & \frac{1}{2k} \\ \cos(\theta-120^\circ) & -\sin(\theta-120^\circ) & \frac{1}{2k} \\ \cos(\theta+120^\circ) & -\sin(\theta+120^\circ) & \frac{1}{2k} \end{array} \right]$ (7)

正交变换时， $C_{3s/2r}^{-1}$ = $C_{3s/2r}^{T}$ ,而

$\mathbf{C}_{3s/2r}^T = \frac{N_1}{N_{xy}} \left[ \begin{array}{ccc} \cos\theta & -\sin\theta & k \\ \cos(\theta-120^\circ) & -\sin(\theta-120^\circ) & k \\ \cos(\theta+120^\circ) & -\sin(\theta+120^\circ) & k \end{array} \right]$ （8）

比较式（7）和式（8），有

$\frac{N_1}{N_{xy}} = \frac{2}{3} \frac{N_{xy}}{N_1}, \quad k = \frac{1}{2k}$

由以上求得 $\frac{N_1}{N_{xy}} = \sqrt{\frac{2}{3}}, \quad k = \frac{1}{\sqrt{2}},$ 则满足功率不变约束的坐标变换矩阵为

$\mathbf{C}_{3s/2r} = \sqrt{\frac{2}{3}} \left[ \begin{array}{ccc} \cos\theta & \cos(\theta-120^\circ) & \cos(\theta+120^\circ) \\ -\sin\theta & -\sin(\theta-120^\circ) & -\sin(\theta+120^\circ) \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right]$ （9）

逆变换矩阵为

$\mathbf{C}_{2r/3s} = \mathbf{C}_{3s/2r}^{-1} = \mathbf{C}_{3s/2r}^T = \sqrt{\frac{2}{3}} \left[ \begin{array}{ccc} \cos\theta & -\sin\theta & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \cos(\theta-120^\circ) & -\sin(\theta-120^\circ) & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \cos(\theta+120^\circ) & -\sin(\theta+120^\circ) & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right]$ （10）

满足功率不变约束的正交变换的变换矩阵也可以由综合矢量导出，满足功率不变约束和磁动势不变原则时，三相系统中电流综合矢量的定义式为

$\mathbf{i} = \sqrt{\frac{2}{3}} (\mathbf{i}_A + \mathbf{i}_B + \mathbf{i}_C)$ （11）

仿照上述综合矢量在坐标轴上的投影同样可以求得坐标变换矩阵式（9）和（10），这里不再赘述。

式（1）和式（9）的坐标变换关系不限于三相静止坐标系到两相旋转坐标系的变换，也可用于三相旋转坐标系到某两相坐标系的变换，只要 $\theta$ 为相应时刻x轴与A轴的夹角即可。这一点也适用于下面讨论的其它坐标变换关系。

在电机的坐标变换中，要注意坐标轴的选取，通常将d轴取得与定子A相绕组重合（或超前A轴

$\theta$ 电角度），而q轴按逆时针旋转方向为正方向超前d轴90°电角度放置，如上一节图1所示。但在有的文献或参考书里，坐标轴的选取有所不同，它们将q轴取在超前A轴 $\theta$ 电角度（或与A轴重合）处，而d轴按逆时针旋转方向为正方向滞后q轴90°电角度放置，这时的坐标变换关系将与上述有所不同，式（1）、（2）和式(3）、（4）中正弦项都为正。读者在使用中一定要留意！另外还要注意，当使用式（1）和式（5）进行坐标变换时，电磁转矩表达式前的系数是不同的。

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