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深入浅出机器学习中的梯度下降算法

article 2024/12/5 10:20:04

大家好，在机器学习中，梯度下降算法（Gradient Descent）是一个重要的概念。它是一种优化算法，用于最小化目标函数，通常是损失函数。梯度下降可以帮助找到一个模型最优的参数，使得模型的预测更加准确，本文将介绍梯度下降算法的原理、公式以及在Python中实现这一算法。

1. 梯度下降算法的理论基础

在数学中，梯度是一个向量，表示函数在某一点的变化率和方向。在多维空间中，梯度指向函数上升最快的方向。

可以通过梯度来找到函数的最小值或最大值，对于损失函数关注的是最小值。

梯度下降的核心思想是通过不断调整参数，沿着损失函数的梯度方向移动，从而逐步逼近最小值。具体步骤如下：

(1) 初始化参数：随机选择参数的初始值。

(2) 计算梯度：计算损失函数对每个参数的梯度。

(3) 更新参数：根据梯度信息调整参数，更新规则为：

其中： $\theta$ 是要优化的参数； $\alpha$ 是学习率（step size），决定每次更新的幅度； $\triangledown J(\theta )$ 是损失函数关于参数的梯度。

(4) 重复步骤：重复计算梯度和更新参数，直到收敛（即损失函数的变化非常小）。

假设我们有一个简单的线性回归问题，目标是最小化均方误差（MSE）损失函数：

其中 $\hat{Y}_{i} = \theta _{0} + \theta _{1}X_{i}$ 是模型的预测值。为了使用梯度下降，我们需要计算损失函数关于参数的梯度：

通过求导，可以得到梯度表达式，并利用它来更新参数。

2. Python 实现梯度下降算法

接下来将通过一个简单的线性回归示例来实现梯度下降算法，以下是实现代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

生成一些随机数据来模拟房屋面积与房价之间的线性关系：

# 生成数据
np.random.seed(0)

# 生成自变量 X（房屋面积），范围从50到200平方米
X = 50 + 150 * np.random.rand(100)  # 生成从50到200的100个点

# 生成因变量 Y（房价），假设房价与房屋面积的关系
Y = 300000 + 2000 * X + np.random.randn(100) * 20000  # 线性关系加上噪声，价格范围在30万到50万之间

# 绘制生成的散点图
plt.scatter(X, Y, color='blue', alpha=0.5)
plt.title('房屋面积与房价的关系')
plt.xlabel('房屋面积 (平方米)')
plt.ylabel('房价 (人民币)')
plt.grid()
plt.show()

实现梯度下降算法的核心部分：

# 将数据标准化，帮助梯度下降更快收敛
X = (X - np.mean(X)) / np.std(X)
Y = (Y - np.mean(Y)) / np.std(Y)

# 梯度下降参数
alpha = 0.01  # 学习率
num_iterations = 1000  # 迭代次数
m = len(Y)  # 样本数量

# 初始化参数
theta_0 = 0  # 截距
theta_1 = 0  # 斜率

# 存储损失值
losses = []

# 梯度下降算法实现
for i in range(num_iterations):
    # 计算预测值
    Y_pred = theta_0 + theta_1 * X
    
    # 计算损失函数 (MSE)
    loss = (1/m) * np.sum((Y - Y_pred) ** 2)
    losses.append(loss)
    
    # 计算梯度
    gradient_0 = -(2/m) * np.sum(Y - Y_pred)  # 截距的梯度
    gradient_1 = -(2/m) * np.sum((Y - Y_pred) * X)  # 斜率的梯度
    
    # 更新参数
    theta_0 -= alpha * gradient_0
    theta_1 -= alpha * gradient_1

print(f'截距 (θ0): {theta_0:.4f}, 斜率 (θ1): {theta_1:.4f}')

截距 (θ0): 0.0000, 斜率 (θ1): 0.9743

通过绘制损失函数随迭代次数变化的曲线，观察梯度下降的收敛过程。

# 绘制损失函数变化曲线
plt.figure()
plt.plot(range(num_iterations), losses, color='blue')
plt.title('损失函数随迭代次数的变化')
plt.xlabel('迭代次数')
plt.ylabel('损失值 (MSE)')
plt.grid()
plt.show()

最后，我们可以将训练好的回归线可视化，以观察模型的效果。

# 可视化回归线
plt.figure()
plt.scatter(X, Y, color='blue', alpha=0.5)
plt.plot(X, theta_0 + theta_1 * X, color='red', linewidth=2)
plt.title('梯度下降后的线性回归拟合')
plt.xlabel('房屋面积 (标准化)')
plt.ylabel('房价 (标准化)')
plt.grid()

plt.tight_layout()  # 调整子图间距
plt.show()