TIE相位恢复算法--两次对焦距离和位置、折射率不均匀、相位大小的分析

一、不同焦平面近焦和远焦的选择和样品的厚度关系

1. 焦平面距离与样品厚度的关系

焦平面距离是否约等于样品厚度？

• 一般情况下，焦平面距离不需要严格等于样品厚度。
  • TIE 利用光波传播特性，将相邻焦平面（或近远焦面）之间的光强分布和样品相位联系起来。
  • 焦平面间的距离 ($\Delta z$) 是关键参数，它影响了相位梯度的准确性，但并不要求它等于样品厚度。

样品厚度对相位的影响

• 样品的厚度影响其透射波的相位变化，因为相位是由样品的光学路径差决定的：
  $$\varphi (x,y)=k\cdot \int n(x,y,z)dz$$
  • 其中 $k=2\pi /\lambda$ 是波数，$n(x,y,z)$ 是样品的折射率分布，$dz$ 是厚度方向的积分。
  • 厚度越大，累积的相位变化也越显著。

因此，样品厚度不同会导致透过波的相位变化不同，但 TIE 不直接依赖厚度，而是利用焦平面光强信息反推出相位。

2. 两次测量-两次对焦距离不同对相位的影响

焦平面距离变化的影响

• 在 TIE 中，不同焦平面之间的距离 $\Delta z$ 是恢复相位的重要参数。如果两次对焦的距离不同，测得的光强梯度会不同，进而影响通过泊松方程求解的相位分布。
  • 较小的 $\Delta z$：对光强变化敏感，但容易受到噪声干扰。
  • 较大的 $\Delta z$：光强变化梯度较小，恢复相位时可能丢失细节。

需要一致的对焦距离

• 如果两次对焦的距离不一致，恢复相位的准确性会下降。为了提高相位恢复的稳定性和一致性，实验中通常需要：
  • 精确控制对焦距离 $\Delta z$。
  • 确保对焦间隔对称（如相对于样品的中心位置，使用正负偏移的焦平面）。

3. 实验设计的优化

如何选择焦平面间距？

• 焦平面间距 $\Delta z$ 的选择需要综合考虑：
  1. 样品特性：对于薄样品，较小的焦平面间距可能更合适；厚样品则需要较大的间距。
  2. 光学系统分辨率：过小的焦平面间距可能导致信噪比降低；过大的间距可能损失梯度信息。
  3. 光源的相干性：高度相干光源（如激光）可以支持较大的 $\Delta z$ 间距，部分相干光源需要更谨慎的选择。

厚样品的特殊情况

• 对于厚样品，相位恢复可能需要分区域进行：
  • 逐层分割厚度：将厚样品分为若干薄层，每层恢复相位后进行叠加。
  • 全息或其他高级方法：在厚样品中，折射率的空间分布会导致多重散射，相位恢复需要结合全息等高级技术。

总结

• 焦平面间距与样品厚度无直接对应关系，但样品厚度影响累积相位。
• 两次测量，对焦距离不同，恢复相位结果会有差异，需要实验中精确控制对焦间距 $\Delta z$。
• 实验设计应根据样品特性和光学系统参数优化焦平面距离和采样方案。

二、两次对焦的位置最好位于样品内部，而不要超过样品边界

两次对焦的位置最好位于样品内部，而不要超过样品边界，这样可以提高相位恢复的准确性。原因在于，焦平面相对于样品的位置会直接影响光场的记录和 TIE 算法对相位分布的求解能力。

1. 焦平面位置对恢复相位的影响

（1）焦平面在样品内部的优势

• 准确捕捉样品光场变化：
  当焦平面位于样品内部或接近样品表面时，光强的变化（梯度信息）主要反映的是样品的相位变化，TIE 的基本假设（光强梯度与相位梯度耦合）更容易满足。

• 避免背景光干扰：
  焦平面超出样品边界后，记录的光强分布不仅包含样品的相位信息，还可能受到背景光场的影响（如光学系统的散射光或环境光）。这些背景光会引入噪声，使得恢复的相位包含额外的误差。

（2）焦平面超出样品边界的影响

• 梯度信息丢失：
  如果一个或多个焦平面超出样品边界，样品区域的光强梯度信息可能无法完整记录。此时，通过 TIE 恢复的相位会出现局部丢失或误差。

• 非物理相位：
  超出样品边界的位置光场可能与样品无关（例如，背景区域可能是均匀光场），这些数据在相位恢复中可能导致非物理解。

2. 焦平面选择的优化

为了获得准确的相位分布，焦平面位置应根据样品特性精心选择：

（1）确保焦平面覆盖样品内部

• 最好将焦平面的范围限制在样品上下边界之间，使得所有记录的数据都直接反映样品对光场的影响。
• 如果样品较厚，可以适当增大焦平面间距$\Delta z$，同时确保焦平面仍然位于样品范围内。

（2）对焦平面分布对称性

• 对称的焦平面分布（如距离样品中心等距的近焦和远焦）有助于减少由于光场传播路径不对称带来的误差。
• 如果焦平面分布不对称，恢复的相位可能偏向某一侧。

（3）考虑边界效应

• 样品边界可能引入光的散射和衍射效应。在设计焦平面位置时，应尽量避开边界附近强烈的干涉或散射区域，以减少噪声影响。
• 如果不可避免，可以通过后期处理（如滤波或边界条件优化）减小边界效应。

3. 特殊情况

（1）样品较厚

• 对于厚样品，可以选择多个焦平面，均匀覆盖样品的内部区域，以分层恢复相位分布。
• 分层技术还可以结合样品厚度信息，将恢复的相位分布叠加得到整体相位。

（2）样品不规则或有边界层

• 对于形状不规则或有明显边界层的样品，可能需要结合边界条件优化，例如使用已知的折射率信息作为补充。

（3）背景光较强

• 如果样品周围的背景光较强（如散射或反射），焦平面超出样品边界时会受到干扰。在这种情况下，可以结合光学滤波技术或背景光扣除算法，降低误差。

三、如果这个被拍摄的样品的折射率不均匀， TIE方法有效性分析

如果拍摄样品的折射率是不均匀的，通过记录不同焦平面的光强分布利用 TIE 恢复物体的相位分布仍然有效，但其复杂性会增加，且效果可能会受到限制。这要具体分析样品折射率不均匀的情况及其影响，并探讨相应的改进方法。

1. 折射率不均匀的影响

相位分布与折射率的关系

相位是光波通过样品时光学路径长度的积分，公式为：
$$\varphi (x,y)=k\cdot \int n(x,y,z)dz$$
其中：

• $n(x,y,z)$ 是折射率分布，
• $dz$ 是样品厚度方向的积分。

折射率不均匀（即 $n(x,y,z)$ 是非恒定值）会导致：

1. 相位分布的复杂性增加：不同位置累积的相位梯度变得非线性。
2. 光场的散射和折射：光波经过样品时，可能产生多次散射，影响光强分布的精确性。

光强分布的影响

折射率的不均匀性会在焦平面上形成复杂的光场分布：

• 光场干涉复杂：导致 TIE 恢复的梯度信息更难提取。
• 光强变化与折射率梯度的耦合：可能使得光强变化不再仅由相位梯度主导。

2. 是否仍然有效

TIE 的基础假设

TIE 的假设是样品通过小角近似下的传输光学系统：

1. 弱衍射场近似：光波传播满足近似的线性波动方程。
2. 单次散射：光波在样品中没有强散射或多次散射。

在这些假设下，即使样品折射率不均匀，只要满足弱衍射条件，TIE 的相位恢复仍然有效。然而，以下情况可能降低精度：

1. 折射率变化剧烈（如存在大折射率梯度或边界不连续）。
2. 样品较厚且多次散射效应明显。

在弱折射率变化下

当折射率变化不剧烈（如软材料或生物样品的细微结构），TIE 仍然可以有效恢复相位，因为：

• 折射率的变化主要体现为小的相位梯度，焦平面间光强分布仍与相位变化强相关。
• 计算过程对光强分布的小扰动有一定的鲁棒性。

3. 改进方案（应对不均匀折射率样品）

（1）增加约束：结合物理模型

• 利用折射率的先验知识：
  如果对样品折射率的分布有一定的先验信息（例如材料的已知分布规律），可以将其作为附加约束引入到 TIE 的求解中。
  $${\nabla }^2\varphi (x,y)=-\frac{1}{I(x,y)}\nabla \cdot \left(I(x,y)\nabla I_z(x,y)\right)$$
  可以将折射率的梯度信息引入 $I(x,y)$ 或边界条件中，提升相位恢复的准确性。

• 分层建模：
  对于厚样品（如多层材料或组织），可以将样品分为多个薄层，分别恢复每层的相位并进行叠加，从而降低不均匀性对整体相位的影响。

（2）多模态数据融合

• 多焦面采样：
  增加焦平面的数量，记录更多的光强分布，减少因折射率不均匀导致的信息丢失。
• 结合偏振信息：
  不同偏振状态的光对折射率变化的敏感性不同，可以通过偏振成像辅助 TIE 提升相位恢复效果。

（3）结合先进算法

• 非线性优化方法：
  折射率不均匀可能使 TIE 的泊松方程不再严格成立，此时可以使用非线性优化方法，如：
  • 最小化光强测量与理论传播之间的误差。
  • 使用基于深度学习的优化方法恢复复杂相位分布。
• 结合机器学习：
  • 训练神经网络将复杂的光强分布直接映射到相位分布，绕过 TIE 的限制。
  • 例如，基于卷积神经网络（CNN）的相位恢复模型对复杂样品效果良好。

（4）结合全息成像

如果折射率变化剧烈（如高度不均匀的样品），可以将数字全息技术（Digital Holography）与 TIE 结合：

• 全息记录复杂光场：全息法直接记录光场的振幅和相位。
• 结合 TIE 分析焦平面光强变化，提高在复杂样品中的相位恢复能力。

四、利用 TIE 方法求解出来的相位分布上下限不一定在 $0$和 $2\pi$之间

1. 为什么相位可能大于 $2\pi$

光波的相位变化由光学路径长度（OPL, optical path length）决定：
$$\varphi (x,y)=\frac{2\pi }{\lambda }\cdot \text{OPL}=\frac{2\pi }{\lambda }\cdot \int n(x,y,z)dz$$
其中：

• $\lambda$ 是光的波长，
• $n(x,y,z)$ 是样品的折射率分布，
• $dz$ 是样品的厚度方向积分。

情况 1：均匀样品

对于均匀样品，假设折射率 $n$ 为常数，样品厚度为 $d$，则相位变化：
$$\varphi =\frac{2\pi }{\lambda }\cdot n\cdot d$$
显然，如果样品厚度 $d$ 较大，或折射率 $n$ 较高，相位值可以远大于 $2\pi$。

情况 2：非均匀样品

如果 $n(x,y,z)$ 是分布不均匀的，积分会得到更加复杂的结果。相位分布可能在不同区域出现较大的范围变化。

2. 相位值的上下限是否有约束

（1）理论上相位范围没有上下限

• 理论上，相位值可以大于 $2\pi$ 或小于 $0$，没有绝对的上下限。
• $\varphi (x,y)$ 的实际范围完全取决于样品的厚度、折射率分布，以及光波的波长。

（2）实际实验中相位值常见范围

• 对于薄样品（$d\ll \lambda$）和低折射率样品（如生物样品，折射率 $n\approx 1.33$），相位变化通常在 $0$ 和 $2\pi$ 之间。
• 对于厚样品或高折射率样品（如硅或金属膜），相位变化可能显著超过 $2\pi$。

（3）相位“回绕”（Wrapping）现象

如果光学系统或算法没有处理好大于 $2\pi$ 的相位值，可能会出现“相位回绕”（Phase Wrapping）现象，即恢复的相位被限制在 $0$ 和 $2\pi$ 之间，需要通过解缠（Unwrapping）恢复真实的相位值。

3. TIE 求解的实际相位范围

TIE 恢复的相位分布来自泊松方程的解：
$${\nabla }^2\varphi (x,y)=-\frac{1}{I(x,y)}\nabla \cdot \left(I(x,y)\nabla I_z(x,y)\right)$$

• TIE 求解的结果是一个相位梯度积分，其值范围与实验条件（样品厚度、折射率变化、焦距等）直接相关。
• 相位恢复的绝对值上限取决于样品的光学厚度：$\text{OPL}=n\cdot d$。

如果焦面记录范围较小或样品边界条件引入误差，可能导致相位结果偏离真实值。

4. 相位是否需要解缠

（1）什么时候需要解缠？

• 如果样品相位变化超过 $2\pi$，TIE 恢复的相位分布可能出现“回绕”：
  • 相位会被“截断”在 $[0,2\pi ]$ 或 $[-\pi ,\pi ]$ 范围内。
  • 需要通过相位解缠技术（Phase Unwrapping）还原真实的连续相位分布。

（2）解缠方法

常见相位解缠方法：

• 基于梯度的解缠：通过恢复连续相位梯度积分得到解缠后的结果。
• 深度学习解缠：使用神经网络对复杂样品或噪声条件下的回绕相位进行解缠。
• 多波长技术：通过多波长记录，利用相位差异消除回绕效应。