【机器学习】支持向量机（SVM）详解：原理与优化

支持向量机 (SVM) 详解

1. 基本概念

支持向量机（Support Vector Machine, SVM）是一种强大的监督学习算法，广泛应用于分类问题（如图像识别、文本分类等），也可以扩展到回归问题。SVM 的核心思想是通过寻找一个超平面（hyperplane）将数据分成两个类别，并尽量使得这两个类别之间的间隔最大，从而实现最优分类。

• 分类问题：SVM 的目标是找到一个能够将不同类别的样本区分开来的超平面。
• 最大间隔：通过寻找具有最大间隔的超平面来增强模型的泛化能力。
• 支持向量：SVM 中的支持向量是离决策边界最近的样本点，它们决定了超平面的位置。

2. 数学原理

SVM 的数学原理基于优化问题，通过最大化分类间隔来实现分类。以下将通过数学推导详细介绍其基本原理。

2.1 线性可分情况

假设我们有一组训练数据 ( {(x_i, y_i)} )，其中 ( x_i \in \mathbb{R}^n ) 是输入特征，( y_i \in {-1, 1} ) 是输出标签，表示数据的类别。我们希望通过一个超平面将这两类数据分开。

1. 超平面方程：

一个超平面在 ( n )-维空间中的表示为：
$$w^{T}x+b=0,$$
其中：

• ( w ) 是法向量（normal vector），决定了超平面的方向；
• ( b ) 是偏置项（bias），决定了超平面的偏移。

2. 间隔：

对于一个超平面 ( w^T x + b = 0 )，分类间隔（margin）是指从超平面到离它最近的样本点的距离。对于给定的样本点 ( x_i )，其到超平面的距离为：
$$\text{distance}(x_i,\text{hyperplane})=\frac{|w^T{x}_i+b|}{\Vert w\Vert }.$$

为了获得最佳的分类性能，我们希望最大化这个间隔，即最大化 ( \frac{1}{|w|} )，这等价于最小化 ( \frac{1}{2} |w|^2 )（为了简化计算，通常将 ( \frac{1}{2} ) 作为一个常数）。

3. 约束条件：

为了确保所有样本都被正确分类，要求每个样本点 ( x_i ) 满足：

• 对于 ( y_i = +1 )，我们希望 ( w^T x_i + b \geq 1 )；
• 对于 ( y_i = -1 )，我们希望 ( w^T x_i + b \leq -1 )。

将这两个条件结合起来，得到：
$$y_i(w^T{x}_i+b)\ge 1,\forall i.$$

2.2 最优化问题

为了使得分类的效果最好，我们需要最大化间隔。目标是最小化 ( \frac{1}{2} |w|^2 )，并满足约束条件。这个优化问题可以表示为：
$$\underset{w,b}{\min }\frac{1}{2}\Vert w{\Vert }^2,$$
约束条件为：
$$y_i(w^T{x}_i+b)\ge 1,\forall i.$$

2.3 拉格朗日对偶问题

为了求解这个最优化问题，采用拉格朗日乘子法进行约束优化。我们构造拉格朗日函数：
$$L(w,b,\alpha )=\frac{1}{2}\Vert w{\Vert }^2-\sum _{i=1}^m{\alpha }_i\left[y_i(w^T{x}_i+b)-1\right],$$
其中，( \alpha_i \geq 0 ) 是拉格朗日乘子，表示每个约束的权重。

对 ( w ) 和 ( b ) 求偏导并设为零，得到：
$$w=\sum _{i=1}^m{\alpha }_i{y}_i{x}_i,\sum _{i=1}^m{\alpha }_i{y}_i=0.$$

最终，原始优化问题转化为一个对偶问题：
$$\underset{\alpha }{\max }\sum _{i=1}^m{\alpha }_i-\frac{1}{2}\sum _{i,j=1}^m{\alpha }_i{\alpha }_j{y}_i{y}_j{x}_i^T{x}_j,$$
约束条件：
$$0\le {\alpha }_i\le C,\sum _{i=1}^m{\alpha }_i{y}_i=0,$$
其中 ( C ) 是正则化参数，控制间隔的宽度和分类错误的惩罚。

2.4 核函数技巧（Kernel Trick）

对于非线性可分的数据，SVM 可以通过引入核函数（Kernel Function）来将数据映射到更高维的空间，从而使得数据在高维空间中变得线性可分。核函数的引入使得 SVM 在高维空间中进行分类而不需要显式地计算数据点的高维映射。

常见的核函数包括：

• 线性核：( K(x, x’) = x^T x’ )；
• 多项式核：( K(x, x’) = (x^T x’ + 1)^d )；
• 高斯径向基核（RBF 核）：( K(x, x’) = \exp\left(-\frac{|x - x’|^2}{2\sigma2}\right) )。

通过使用核函数，SVM 的优化问题变为：
$$\underset{\alpha }{\min }\sum _{i=1}^m{\alpha }_i-\frac{1}{2}\sum _{i,j=1}^m{\alpha }_i{\alpha }_j{y}_i{y}_{j}K(x_i,x_j),$$
其中 ( K(x_i, x_j) ) 是核函数。

2.5 非线性分类与支持向量

对于非线性可分的情况，SVM 通过引入核函数在高维特征空间中进行优化，依然保持原始的最大间隔原则。分类的决策边界变得更加复杂，但 SVM 通过寻找“最优超平面”进行分类，使得正样本和负样本的间隔最大化。

3. 优缺点分析

3.1 优点

• 高维数据表现良好：SVM 在高维空间中的表现较好，尤其适用于特征维度大于样本数的情况。
• 强大的理论基础：基于优化理论和几何理论，SVM 是一种非常具有理论保障的算法。
• 适用于非线性分类问题：通过引入核函数，SVM 可以有效处理非线性可分问题。

3.2 缺点

• 计算复杂度高：对于大规模数据集，SVM 的训练时间和内存消耗较大，尤其是在使用非线性核时。
• 对缺失值敏感：SVM 对数据中的缺失值比较敏感，需做好数据预处理。
• 对参数敏感：SVM 对正则化参数 (C) 和核函数参数比较敏感，选择不当可能导致过拟合或欠拟合。

4. SVM 与其他算法的比较

• SVM vs. 逻辑回归：逻辑回归是一个概率模型，适用于线性可分数据；而 SVM 通过最大化间隔优化分类性能，能够更好地处理复杂的数据集，尤其是高维数据。
• SVM vs. KNN：KNN 是一种基于实例的学习方法，计算复杂度较高；而 SVM 通过全局优化寻找决策边界，通常具有更好的泛化能力。
• SVM vs. 决策树：决策树是一种非参数模型，易于理解和解释，但容易过拟合；SVM 的性能依赖于优化过程，尤其是选择合适的核函数，但一般具有更强的分类性能。

5. 总结

支持向量机（SVM）是一种强大的分类算法，基于最大化分类间隔的原则，能够在高维空间中找到最优超平面。在处理高维数据、非线性分类问题时，SVM 常常表现出色。尽管 SVM 的计算复杂度较高，但通过引入核函数和优化算法，它已经成为机器学习中不可或缺的一部分。在实践中，通过合理选择核函数和调整正则化参数，SVM 能够在多种任务中取得良好的性能。