2012年西部数学奥林匹克试题(几何)
2012/G1
△ A B C \triangle ABC △ABC 内有一点 P P P, P P P 在 A B AB AB, A C AC AC 上的投影分别为 E E E, F F F, 射线 B P BP BP, C P CP CP 分别交 △ A B C \triangle ABC △ABC 的外接圆于点 M M M, N N N. r r r 为 △ A B C \triangle ABC △ABC 的内切圆半径, R R R 为 △ A B C \triangle ABC △ABC 的外接圆半径. 求证: E F / M N ≥ r / R EF/MN \geq r/R EF/MN≥r/R.
证明: 设 P P P 在 B C BC BC 上的投影为点 D D D.设 S S S 为 S △ A B C S_{\triangle ABC} S△ABC. 延长 A P AP AP 交 ( A B C ) (ABC) (ABC) 于点 L L L.
当 P P P 位于内心 I I I 时, 易证明 E F EF EF 在 ( A B C ) (ABC) (ABC) 中, M N MN MN 在 ⨀ I \bigodot I ⨀I 中所对的圆周角 (锐角) 大小都为 π / 2 − A / 2 \pi/2-A/2 π/2−A/2. 此时 E F / M N = r / R EF/MN=r/R EF/MN=r/R.
下证当 P P P 不位于内心位置时, E F / M N > r / R EF/MN>r/R EF/MN>r/R.
△ L M N ∼ △ D E F \triangle LMN \sim \triangle DEF △LMN∼△DEF (证明略), 进而 E F / M N = r ′ / R EF/MN=r'/R EF/MN=r′/R. ( r ′ r' r′ 为 ( D E F ) (DEF) (DEF) 的半径), 要证明 E F / M N > r / R EF/MN>r/R EF/MN>r/R, 只需证明 r ′ > r r'>r r′>r.
设 △ D E F \triangle DEF △DEF 的外心为 O ′ O' O′.
S = S △ O ′ A B + S △ O ′ A C + S △ O ′ B C = 1 2 ( B C ⋅ d (