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博弈论3：图游戏SG函数（Graph Games）

article 2025/1/16 5:13:20

一、图游戏是什么

1.游戏特征

2.游戏实例

二、图游戏的必胜策略

1.SG 函数（Sprague-Grundy Function）

2.必胜策略（利用SG函数）

3.拿走游戏转化成图游戏（Take-away Game -> Graph Game）

一、图游戏是什么

1.游戏特征

给出一个有向无环图G（X，F），其中X是游戏可抵达位置的非空集合（点集，设开始节点为x0∈X），F是一个函数（F(x)代表x的后继节点，即从x位置往下走一步能抵达的位置。若x为终点，F(x)为空集）。

两个玩家，I&II，每轮交替行动。玩家I先行动，从开始节点x0出发。
若当下处在位置x,可以选择走向一个位置y,其中y∈F(x).（即：若x->y有一条有向边，玩家可以从x走到y）
先走到终点的玩家获胜

说白了就是有张“地图”，图上有一个又一个的节点，绘制着一条又一条的单向路径。两个人都从开始位置出发，轮流走一条路；谁先走到终点，谁获胜。

2.游戏实例

你和小红在同一起点x0.

你和小红每轮交替行动，每次可以走一条有向边。

你或小红的移动都会造成双方的移动（也就是说，如果你从x0走到x1,那么小红也走到了x1,她将从x1开始往下走）。

第一轮，你从x0走到x1;第二轮小红从x1走到x3;第三轮，你从x3走到终点x4。于是你光荣地获得了胜利。

二、图游戏的必胜策略

然而，实际游戏中的图不会像示例的那么简单。那么怎么找到一个获胜策略呢？别急，我们先引入一个基本概念。

1.SG 函数（Sprague-Grundy Function）

对于一个有向图G（X，F），我们定义一个SG函数g, 使得对于任意x∈X，都有

$g(x)=min\{n\geqslant 0\,n\neq g(y)\ for y \epsilon f(x) \}$

说人话，g(x) 是一个最小非负整数，这个非负整数不等于x所有后继节点的g(x)值（也就是SG值）。

显然，终点的SG值肯定为0（我们规定终点不会走向任何后继节点）。

于是求SG值，我们可以从终点开始求，再求只能抵达终点的那些点，再再求能抵达抵达终点的那些点的那些点...

ex.

2.必胜策略（利用SG函数）

事实上，SG值g(x)揭示了制胜策略：若行动后走到g(x)=0的点，一直行动下去就能获胜。

我们称g(x)=0的点为P位置，g(x)≠0的点为N位置。

P位置，即positions that are winning for the Previous player (the player who just moved)，行动完走到这个位置的玩家获胜。

N位置，即 winning for the Next player to move，行动完之后走到这个位置，你的对手玩家（也就是下一轮行动的玩家）会获胜。

终点一定是P位置；对于任何P位置，只能走到N位置；对于任何N位置，一定可以抵达其中一个P位置。(如果你想证明g(x)=0的点一定是P位置，也一定能获胜，可以利用这三条性质证明）

ex.

回到下面的图，我们观察到起点x0其实是一个P位置。（g(x0)=0）

假如你先行动，就只能走到N位置(x1或x3).

这时候，如果小红掌握了这个必胜策略，即每次移动都走到P位置（比如从x1走到P位置x2,从x3走到P位置x4),那么不管你采用什么策略，小红都会获胜。