算法12、基础二分查找的运用（旋转数组专题）

🌰1、旋转数组1-严格递增

晴问算法

由严格递增序列形成的旋转数组，它的特点是：

一直严格递增，突然递减了一个元素，然后又严格递增。比如 3 5 8 1 2

把它分为两半，就分别都是严格递增的子数组，3 5 8和1 2， 索引范围（查找区间初值）分别是【0， 2】，【3，4】

然后分别进行二分查找，若第一组找到了就直接返回mid, 不需要进行第二组的查找了。

注意：旋转数组也有可能依然严格递增

#include <iostream>
using namespace std;
const int MAXN = 100005;
int nums[MAXN], x, n;
int binaryXsearch(int start, int end){
    int left = start, right = end, mid;
    while(left <= right){
        mid = (left + right) / 2;
        if(nums[mid] == x)
            return mid;
        if(nums[mid] < x)
            left = mid + 1;
        if(x < nums[mid])
            right = mid - 1;
    }
    if(left > right)
        return -1;
}
int main(){
    cin >> n >> x;
    int special = -1;
    //遍添加元素边找到旋转点
    for(int i = 0; i < n; i++){
         cin >> nums[i];
         if(i >= 1 && nums[i-1] > nums[i] )
            special = i;
    }
    //若未旋转直接对整个数组查找，并结束main函数：
    if(special == -1){//说明旋转数组依然严格递增
        printf("%d\n", binaryXsearch(0, n-1));
        return 0;
    }
    //若旋转了，则分为两组严格递增的子数组：
    int ans = binaryXsearch(0, special-1);
    if(ans == -1)//如果第一组没找到就继续第二组寻找。
        ans = binaryXsearch(special, n-1);
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

🌰2、旋转数组2-非严格递增 

晴问算法

依然将旋转数组分为两半非严格递增的子数组，找到旋转点即第一个小于等于前一个的元素

然后分别执行非严格递增序列寻找第一个某元素的思路：算法11、基础二分查找（寻找满足条件的元素专题）-CSDN博客🌰3、变体1-寻找第一个元素x

转化为寻找第一个大于等于元素x的下标，若返回的下标小于n且其元素等于x（下标从0开始）说明有解，否则无解打印-1.

#include <iostream>
using namespace std;
const int MAXN = 100005;
int nums[MAXN], x, n;

// 二分查找：寻找第一个大于等于 x 的位置
int binarySearch(int start, int end) {
    int left = start, right = end + 1; // 注意右边界设置为 end + 1
    while (left < right) {             // 循环条件为 left < right
        int mid = (left + right) / 2;
        if (nums[mid] >= x)            // 如果满足条件，收缩右边界
            right = mid;
        else
            left = mid + 1;            // 否则收缩左边界
    }
    return left; // left 是第一个符合条件的位置
}

int main() {
    cin >> n >> x;
    int spin = -1;

    // 找到旋转点（第一个小于等于前一个的元素位置）
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> nums[i];
        if (nums[i] < nums[i - 1] && spin == -1) {
            spin = i;
        }
    }
    // 如果没有找到旋转点，则整个数组是非严格递增的
    if (spin == -1) {
        int ans = binarySearch(0, n - 1); // 整个数组执行二分查找
        if (ans < n && nums[ans] == x)
            cout << ans << endl;
        else
            cout << -1 << endl;
        return 0;
    }

    // 存在旋转点，分别对两部分执行二分查找
    int ans = binarySearch(0, spin - 1); // 前半部分
    if (ans >= spin || nums[ans] != x)   // 如果前半部分未找到，查找后半部分
        ans = binarySearch(spin, n - 1);
    if (ans < n && nums[ans] == x)
        cout << ans << endl;
    else
        cout << -1 << endl;

    return 0;
}

🌰3、旋转数组最小值1-严格递增

晴问算法 

不使用二分法直接遍历循环：

int main(){
    cin >> n;
    int special = 0;
    //边添加元素边找到旋转点,即第一个小于前一个元素的元素
    for(int i = 0; i < n; i++){
         cin >> nums[i];
         if(i >= 1 && special == 0 && nums[i-1] > nums[i] )
            special = i;
    }
    printf("%d\n", nums[special]);
}

🙀难-使用二分查找法：

由严格递增序列形成的旋转数组，它的最小点就是旋转点，以旋转点为界，它的左半部和右半部（把旋转点归到右半部）都严格递增，且左半部的元素都比右半部大。

初始状态：left = 0，right = n - 1，mid = (left + right) / 2。

1️⃣查找移动思路：

  对于二分查找闭区间[left, right]:

        记住二分查找的本质是不断缩小区间去逼近解，因此如果解存在则解一定在二分查找区间里。

        若nums[mid] < nums[right],说明mid有可能是解，且若mid不是解，解应该在左半[left, mid]区间，反证：

假设旋转点在[mid, right]区间，则nums[mid]应该>=nums[right], 因为旋转点左侧的元素大于所有右侧的元素，与nums[mid] < nums[right]相悖。因此应该让right = mid。

        若nums[mid] >= nums[right], 说明mid不是解，且旋转点一定在[mid+1, right]区间，反证：

假设旋转点不在[mid+1, right]区间，则该区间应该严格递增，即nums[mid]应该小于nums[right]。因此应该让left = mid + 1; 

2️⃣特别注意⚠️-int除法的特性：

  比如left == 2, right = 3, 则（left + right)/ 2 = 2, 所以除了left==right的情况,  mid只可能等于left（当right=left+1时)， 而不可能等于right,   因此，nums[mid] >= nums[right]的比较条件可以不要等号。

也因为int除法的此特性，该题建议让nums[mid]与nums[right]比较，而不是与nums[left]比较！！因为这样left == right就无法作为找到解的唯一标识了。

当left == right ，找到解了，结束循环。

#include <iostream>
using namespace std;
const int MAXN = 100000;
int n, nums[MAXN];
int findMin(){
    int left = 0,  right = n-1,  mid;
    while(left < right){
        mid = (left + right) / 2;
        if(nums[mid] < nums[right])
            right  = mid;
        else
            left = mid + 1;
    }
    return nums[left]; //or right;
}
int main(){
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i++)
        cin >> nums[i];
    printf("%d\n", findMin());
}