威沙特(Wishart)分布
内容来源
应用多元统计分析 北京大学出版社 高惠璇编著
威沙特分布
威沙特分布是一元统计中 χ 2 \chi^2 χ2 分布的推广
设 X i X_i Xi 是来自总体 N p ( 0 , Σ ) N_p(0,\Sigma) Np(0,Σ) 的随机样本
记 X = ( X 1 , X 2 , ⋯ , X n ) ′ X=(X_1,X_2,\cdots,X_n)' X=(X1,X2,⋯,Xn)′ 为样本数据阵
考虑随机阵
W = X ′ X W=X'X W=X′X
的分布
- 当 p = 1 p=1 p=1 时，即 X i ∼ N ( 0 , σ 2 ) X_i\sim N(0,\sigma^2) Xi∼N(0,σ2)，有
W = X ′ X = ∑ i = 1 n X i 2 ∼ σ 2 χ 2 ( n ) W=X'X=\sum^n_{i=1}X^2_i\sim\sigma^2\chi^2(n) W=X′X=i=1∑nXi2∼σ2χ2(n)
- 推广到多元情形 X i ∼ N p ( 0 , Σ ) X_i\sim N_p(0,\Sigma) Xi∼Np(0,Σ)
称随机阵 W W W 服从威沙特分布
记为 W ∼ W p ( n , Σ ) W\sim W_p(n,\Sigma) W∼Wp(n,Σ)
- 一般地，设 X i ∼ N p ( μ i , Σ ) X_i\sim N_p(\mu_i,\Sigma) Xi∼Np(μi,Σ) 相互独立
则称 W W W 服从非中心参数为 Δ \Delta Δ 的非中心威沙特分布
记为 W ∼ W p ( n , Σ , Δ ) W\sim W_p(n,\Sigma,\Delta) W∼Wp(n,Σ,Δ)，其中
Δ = ∑ i = 1 n μ i μ i ′ \Delta=\sum^n_{i=1}\mu_i\mu'_i Δ=i=1∑nμiμi′
性质
正态样本的离差阵
设 X i ∼ N p ( μ , Σ ) X_i\sim N_p(\mu,\Sigma) Xi∼Np(μ,Σ) 相互独立，则样本离差阵服从威沙特分布
A = ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ ) ( X i − X ‾ ) ′ ∼ W p ( n − 1 , Σ ) A=\sum^n_{i=1}(X_i-\overline{X})(X_i-\overline{X})'\sim W_p(n-1,\Sigma) A=i=1∑n(Xi−X)(Xi−X)′∼Wp(n−1,Σ)
与一元情形相似
( n − 1 ) s 2 / σ 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) (n-1)s^2/\sigma^2\sim \chi^2(n-1) (n−1)s2/σ2∼χ2(n−1)
关于自由度 n n n 具有可加性
设 W i ∼ W p ( n i , Σ ) W_i\sim W_p(n_i,\Sigma) Wi∼Wp(ni,Σ) 相互独立，则
∑ i = 1 k W i ∼ W p ( ∑ i = 1 k n i , Σ ) \sum^k_{i=1}W_i\sim W_p(\sum^k_{i=1}n_i,\Sigma) i=1∑kWi∼Wp(i=1∑kni,Σ)
性质3
设 W ∼ W p ( n , Σ ) W\sim W_p(n,\Sigma) W∼Wp(n,Σ)
C C C 是 m × p m\times p m×p 常数矩阵，则
C W C ′ ∼ W m ( n , C Σ C ′ ) CWC'\sim W_m(n,C\Sigma C') CWC′∼Wm(n,CΣC′)
分块威沙特矩阵的分布
设 X i ∼ N p ( 0 , Σ ) X_i\sim N_p(0,\Sigma) Xi∼Np(0,Σ) 相互独立，其中
Σ = [ Σ 11 Σ 12 Σ 21 Σ 22 ] \Sigma=\left[ \begin{matrix} \Sigma_{11}&\Sigma_{12}\\ \Sigma_{21}&\Sigma_{22} \end{matrix} \right] Σ=[Σ11Σ21Σ12Σ22]
对 W W W 也作相同的分块
W = X ′ X = [ W 11 W 12 W 21 W 22 ] ∼ W p ( n , Σ ) W=X'X=\left[ \begin{matrix} W_{11}&W_{12}\\ W_{21}&W_{22} \end{matrix} \right]\sim W_p(n,\Sigma) W=X′X=[W11W21W12W22]∼Wp(n,Σ)
则
-
W 11 ∼ W r ( n , Σ 11 ) , W 22 ∼ W p − r ( n , Σ 22 ) W_{11}\sim W_r(n,\Sigma_{11}),W_{22}\sim W_{p-r}(n,\Sigma_{22}) W11∼Wr(n,Σ11),W22∼Wp−r(n,Σ22)
-
当 Σ 12 = 0 \Sigma_{12}=0 Σ12=0 时， W 11 , W 22 W_{11},W_{22} W11,W22 相互独立
-
记 W 22 ⋅ 1 = W 22 − W 21 W 11 − 1 W 12 W_{22\cdot1}=W_{22}-W_{21}W^{-1}_{11}W_{12} W22⋅1=W22−W21W11−1W12，则
W 22 ⋅ 1 ∼ W p − r ( n − r , Σ 22 ⋅ 1 ) W_{22\cdot1}\sim W_{p-r}(n-r,\Sigma_{22\cdot1}) W22⋅1∼Wp−r(n−r,Σ22⋅1)
其中 Σ 22 ⋅ 1 = Σ 22 − Σ 21 Σ 11 − 1 Σ 12 \Sigma_{22\cdot1}=\Sigma_{22}-\Sigma_{21}\Sigma^{-1}_{11}\Sigma_{12} Σ22⋅1=Σ22−Σ21Σ11−1Σ12
且 W 22 ⋅ 1 , W 11 W_{22\cdot1},W_{11} W22⋅1,W11 相互独立
期望
E ( W ) = n Σ E(W)=n\Sigma E(W)=nΣ
一元统计中 p p p 维观测向量 X X X 的二次型的多元推广
1
设 X ∼ N n × p ( M , I n ⊗ Σ ) X\sim N_{n\times p}(M,I_n\otimes\Sigma) X∼Nn×p(M,In⊗Σ)
A A A 为 n n n 阶对称矩阵，则
X ′ A X ∼ W p ( r , Σ , Δ ) X'AX\sim W_p(r,\Sigma,\Delta) X′AX∼Wp(r,Σ,Δ)
其中 Δ = M ′ A M , r = r a n k ( A ) \Delta=M'AM,r=rank(A) Δ=M′AM,r=rank(A)
2
设 X ∼ N n × p ( M , I n ⊗ Σ ) X\sim N_{n\times p}(M,I_n\otimes\Sigma) X∼Nn×p(M,In⊗Σ)
A , B A,B A,B 为 n n n 阶对称幂等矩阵，则
X ′ A X 与 X ′ B X 相互独立 ⟺ A B = 0 X'AX与X'BX相互独立\Longleftrightarrow AB=0 X′AX与X′BX相互独立⟺AB=0