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SM2 算法介绍

article 2024/12/21 18:04:22

SM2算法 是中国国家密码管理局（OSCCA）基于椭圆曲线密码学（ECC, Elliptic Curve Cryptography）设计的 公钥密码算法。它于 2010 年成为中国国家标准，主要用于数字签名、加密和密钥交换。SM2算法被广泛应用于密码学领域，尤其是在金融、政务和安全通信等场景中。

SM2算法简介

SM2 是一种 基于椭圆曲线的公钥密码算法，提供以下核心功能：

数字签名：用于验证消息的来源和完整性。
公钥加密：实现安全数据传输。
密钥交换：用于双方安全协商共享密钥。

与其他椭圆曲线密码算法（如 ECDSA、ECDH）相比，SM2 在算法设计上针对某些攻击场景做了优化，并且增加了一些额外的安全性检查。

SM2算法的关键特点

安全性高：
- 基于椭圆曲线离散对数问题（ECDLP），其难度等价于 RSA 的整数分解问题，但密钥长度更短，安全性更高。
- 提供对抗特定攻击（如选择密文攻击）的机制。
效率高：
- 与 RSA 相比，SM2 的密钥更短，运算速度更快，适合资源受限的设备（如智能卡和嵌入式设备）。
符合国家标准：
- 是中国的国家标准，标准号为 GB/T 32918-2016。
支持多功能：
- 支持数字签名、公钥加密和密钥交换，功能全面。

SM2算法的数学基础

SM2基于椭圆曲线密码学，其核心依赖于以下数学概念：

椭圆曲线方程：
- SM2使用的椭圆曲线为：
  [
  y^2 = x^3 + ax + b , \pmod{p}
  ]
  其中，( p ) 是素数，( a ) 和 ( b ) 是曲线参数，必须满足 ( 4a^3 + 27b^2 \neq 0 )（确保曲线是非奇异的）。
椭圆曲线点运算：
- 点加法和点乘法是椭圆曲线密码学的基础操作：
  - 点加法：给定曲线上的两点 ( P ) 和 ( Q )，计算 ( P + Q )。
  - 点乘法：给定曲线上的点 ( P ) 和整数 ( k )，计算 ( k \cdot P )。
椭圆曲线离散对数问题（ECDLP）：
- 给定曲线上的点 ( P ) 和 ( Q = k \cdot P )，找到整数 ( k ) 是一个计算上非常困难的问题。
- SM2 的安全性依赖于此问题的难解性。

SM2算法的三大功能

1. 数字签名

SM2的数字签名用于验证消息的完整性和来源，过程分为两个部分：签名生成 和 签名验证。

签名生成：

输入私钥 ( d )、消息 ( M ) 和随机数 ( k )。
计算消息哈希 ( e = H(Z || M) )，其中：
- ( Z ) 是用户标识符的杂凑值（结合了用户公钥等信息）。
- ( H ) 是 SM3 哈希函数。
计算椭圆曲线点 ( k \cdot G = (x_1, y_1) )，取 ( r = (e + x_1) \mod n )。
计算 ( s = ((1 + d)^{-1} \cdot (k - r \cdot d)) \mod n )。
签名为 ( (r, s) )。

签名验证：

输入公钥 ( P )、消息 ( M ) 和签名 ( (r, s) )。
计算消息哈希 ( e = H(Z || M) )。
计算椭圆曲线点：
[
t = (r + s) \mod n, \quad (x_2, y_2) = s \cdot G + t \cdot P
]
验证：
[
r \stackrel{?}{=} (e + x_2) \mod n
]
如果相等，则签名有效。

2. 公钥加密

SM2公钥加密用于安全传输数据，过程分为：加密和解密。

加密过程：

输入消息 ( M )、接收方公钥 ( P ) 和随机数 ( k )。
计算椭圆曲线点 ( k \cdot G = (x_1, y_1) ) 和 ( k \cdot P = (x_2, y_2) )。
使用 ( x_2, y_2 ) 作为密钥生成种子，计算共享密钥 ( t = KDF(x_2 || y_2, klen) )。
计算密文：
[
C = (x_1, y_1, C_2 = M \oplus t, C_3 = H(x_2 || M || y_2))
]

解密过程：

输入密文 ( C = (x_1, y_1, C_2, C_3) ) 和私钥 ( d )。
计算椭圆曲线点 ( d \cdot (x_1, y_1) = (x_2, y_2) )。
使用 ( x_2, y_2 ) 计算共享密钥 ( t = KDF(x_2 || y_2, klen) )。
解密消息：
[
M = C_2 \oplus t
]
验证 ( C_3 \stackrel{?}{=} H(x_2 || M || y_2) )。

3. 密钥交换

SM2密钥交换允许两方协商一个共享的会话密钥，过程分为两轮通信。

第一轮：

双方生成各自的临时私钥 ( r_A, r_B ) 和临时公钥 ( R_A, R_B )。
双方交换临时公钥。

第二轮：

双方计算共享密钥：
- ( U_A = r_A \cdot R_B + r_A \cdot P_B )。
- ( U_B = r_B \cdot R_A + r_B \cdot P_A )。
使用 ( U_A ) 或 ( U_B ) 生成会话密钥。

与其他公钥算法对比

特性	SM2	RSA	ECDSA
安全性	高，基于椭圆曲线难题	高，基于大整数分解	高，基于椭圆曲线难题
密钥长度	较短（256 位曲线）	长（2048 位或更长）	较短（256 位曲线）
效率	高	较低	高
用途	国密应用、签名、加密	广泛用于签名、加密	主要用于签名